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 過去の講座履歴と講義報告

2017年度
  夏学期講座夏期集中セミナー

2016年度
  夏学期講座夏期集中セミナー秋学期講座冬期集中セミナー春学期講座春期集中セミナー

2015年度
  夏学期講座夏期集中セミナー秋学期講座冬期集中セミナー春学期講座春期集中セミナー

2014年度
  夏学期講座夏期集中セミナー秋学期講座冬期集中セミナー春学期講座春期集中セミナー

2013年度
  夏学期講座夏期集中セミナー秋学期講座冬期集中セミナー春学期講座春期集中セミナー

2012年度
  夏学期講座夏期集中セミナー秋学期講座冬期集中セミナー春学期講座春期集中セミナー

2011年度
  夏学期講座夏期集中セミナー秋学期講座冬期集中セミナー春学期講座春期集中セミナー

2010年度
  夏学期講座夏期集中セミナー秋学期講座冬期集中セミナー春学期講座春期集中セミナー

2009年度
  夏学期講座夏期集中セミナー秋学期講座冬期集中セミナー春学期講座春期集中セミナー

2008年度
  夏学期講座夏期集中セミナー秋学期講座冬期集中セミナー春学期講座春期集中セミナー

2007年度
  春学期講座春期集中セミナー


 2017年度 夏期集中セミナー
一覧
代数特論 8月20日(日)
9月18日(月・祝)
函数解析特論 非有界作用素 8月26日(土)
27日(日)
C*代数からの特論
Gelfand-Naimarkの定理
9月2日(土)
3日(日)
Fourier変換に関係する種々の積分変換 9月9日(土)
10日(日)

※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。

 
〔料金について〕
  • いずれの講座も、料金は¥18,000(学割¥15,000)です。

 
講座名 代数特論
内容   今回のテーマは単純ですが、極めて応用の広い基礎であり、また私たちの数学神秘体験の源泉といえます。 例題を楽しみながら、式の取り扱い感覚を磨きましょう。
項目
  1. 多項式
    1. 割り算の基本定理と整除の構造
    2. 補間多項式
  2. 代数方程式
    1. 重解条件、判別式
    2. 解と係数の関係とNewtonの公式
日時   8月20日(日) 13:00−17:00、
  9月18日(月・祝) 13:00−17:00
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講座名 函数解析特論 非有界作用素
内容   自然な関数空間では微分作用素が有界ではないという事実を踏まえて、より適した一般論の枠組みは何かという問題意識により、 NeumannやStone等により作られた理論です。極基本的ですが丁寧に基本から扱います。 閉作用素の理論をよく理解することを目標にしてください。
項目
  1. 定義と基礎演算
  2. 閉作用素
  3. 一様有界性原理
  4. 開写像定理、閉写像定理
日時   8月26日(土) 14:00−18:00、
  8月27日(日) 11:00−16:00
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講座名 C*代数からの特論
Gelfand-Naimarkの定理
内容   この結果により任意のC*代数はHilbert空間上の有界作用素のC*部分環と思ってよい事になるわけです。 C*代数の表現の本論は秋学期から始める予定です。
項目
  1. C*代数の表現
    1. Hilbert空間族の直和
    2. 直和表現
    3. 正の線型形式から生成されるHilbert空間
  2. GNS構成 Gelfand-Naimarkの定理
日時   9月2日(土) 14:00−18:00、
  9月3日(日) 11:00−16:00
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講座名 Fourier変換に関係する種々の積分変換
内容   既に論じたFourier変換とその複素化とここから先の超関数のFourier変換の動機づけにもなるトピックスです。 Schwartz流の超関数概念だけでなく、佐藤超関数のアイデアの源泉もこの中に見ることになります。
項目
  1. Laplace変換
  2. Hilbert変換およびCauchyの特異積分
  3. Rieszポテンシャル
日時   9月9日(土) 14:00−18:00、
  9月10日(日) 11:00−16:00
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 2017年度 夏学期講座
入門
IC 線型数学演習I
数学の感覚のリハビリと強化!
ID 多次元空間、微積分と初等線型代数(改訂版)
IF 数学の基本語彙と文法I
入門・初級
IA 初級解析教程
IB 複素関数論(基礎編)
初級
EA 一般位相(基礎編) その1
初級・中級
IE Fourier解析II
MA 関数解析概論
中級
MB C*代数と作用素環
MC 「シュワルツ超関数入門」を読むII

 
〔講座について〕
  • 今学期の新規開講講座は、IA、IB、IC、ID、IF、EA、MAの6講座です。
〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000(学割 ¥25,000)〕。ただし、IFは、一括前納¥30,000です。
  • 各回払いの場合は、以下の通りです:
    • 全3回講座では、第1回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第2回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第3回目¥10,000(学割 ¥9,000)です。
    • 全6回講座では、第1回目¥6,500(学割 ¥6,000)、第2回目以降¥5,500/回(学割 ¥4,000/回)です。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 初級解析教程 レベル 入門・初級
内容   実数の捉え方からFourier級数入門まで続きます。r回連続微分可能な関数のクラスや実解析関数の取り扱いに特徴があります。 また演習問題を兼ねて歴史的な例を取り上げようと思っています。
 
  17世紀に誕生した解析学は、無限級数展開と微積分の基本定理の発見により大いに発展し、 18世紀末には、 現在は古典解析学といわれる巨大な殿堂がほぼ姿を現しました。しかし数学の対象の広がりに連れて、 それまでの方法と理解では解明できない問題が次々浮上してきました。
  例えば、振動の初期条件のような不規則な関数が果たして解析関数の級数として展開できるのか? そもそも関数とは何か? 積分とは何か?
  そのような問題意識から、19世紀の解析学は、18世紀解析学の基礎を再構築し未解決問題を解決するところから始まりました。 Abel、Cauchy、Dirichlet、Weierstrassは、このような立場の代表者で厳密主義とも言われます。 極限概念の正確に定義することを基礎にして書かれた学校用の最初の教科書が、CauchyのCours d'Analyseです。 この厳密化の流れの中で集合論が現れ、実解析学や関数解析学の基礎付けが可能になり、19世紀解析学から20世紀解析学へとつながってきたのです。
 
  この初級解析教程は、線型代数や位相を重要視した20世紀数学のスタイルをとっています。
項目
  1. 数直線の捉え方
  2. 収束列、収束級数の理論
    1. 級数数列の収束のCauchy理論
    2. 絶対収束級数
    3. 級数の収束の仕方の分類
  3. 連続関数の一般論
日付 隔週日曜日・全6回
  5/21、 6/4、 6/18、 7/2、 7/16、 7/30
時間   11:00−13:00
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講座名 IB. 複素関数論(基礎編) レベル 入門・初級
内容   複素微分可能性、Cauchy-Riemannから始まり留数定理あたりまで。専門的な複素解析の入門ではなく、 解析の諸領域で用いられる基礎素養としての講座です。
項目
  1. 実微分可能性
  2. 複素微分可能性
  3. 正則関数
  4. Wirtinger-Poincaré算法
日付 隔週日曜日・全3回
  5/21、 6/4、 6/18
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. 線型数学演習I
数学の感覚のリハビリと強化!
レベル 入門
内容   セミナー等で理論がうまく展開出来ない原因の大きい部分は等式、不等式が使えない、読めない事です。 理論以前のセンスと言ったらよいでしょうか! そこで、そのような数学感覚のリハビリと強化を目指した講座を試みに始めます。 このような講座はかつては主流でしたが、今では講座の中でその手の基本技術に触れるぐらいです。
  材料は、主に栗田先生の線形数学(かつて書かれた理工系学部の1、2年生向け教科書として優れたものだと思います。)に沿って選ぶ予定です。
項目
  1. 複素数、複素数平面
    1. 複素数
    2. 極形式、1のn乗根
    3. 平面幾何の問題
多項式と代数方程式につづく
日付 隔週日曜日・全3回
  5/28、 6/11、 6/25
時間   14:00−18:00
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講座名 ID. 多次元空間、微積分と初等線型代数(改訂版) レベル 入門
内容 〔2017/6/24更新〕 微積分とは局所的にはEuclid空間の幾何学にほかなりません。先ず、任意次元のEuclid空間の初等幾何と表現法としての初等線型代数を導入します。 次学期は有向体積とその変換、微分、領域の積分、曲面の積分が導入され、次学期で高階微分、剰余付Taylor公式等を導きます。 この流れの中で勾配やHessianやLaplace作用素等も明確な形で定義されます。多様体上の微積分はこの事を徹底的に理念化したものです。
 
  今学期はその1です。主に多次元のEuclid空間の基本図形を扱います。
項目
  1. 数ベクトル空間
  2. 内積、直交性
  3. 平面、線型部分空間、張る空間
  4. 凸性
  5. 行列、線型写像
日付 隔週日曜日・全3回
  7/9、 7/23、 8/6
時間   14:00−18:00
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講座名 IE. Fourier解析II レベル 初級・中級
内容   はじめに、有用な2つのトピックスを扱い、Fourier変換の定義域の複素化がもたらす、複素関数論の深い結果を紹介します。 これらの結果は、作用素環の深い結果を導く際などにしばしば用いられています。
項目
  1. Poissonの和公式
  2. 正型関数
  3. Fourier変換の複素化
    1. Phragmén-Lindelöfの定理
    2. Poisson-Jensen公式
    3. Hardyの定理、その他
    4. Paley-Wienerの定理
次回超関数のFourier変換に続く
日付 隔週日曜日・全6回
  5/28、 6/11、 6/25、 7/9、 7/23、 8/6
時間   11:00−13:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法I レベル 入門
内容   どのような分野の数学をやるにせよ、現代の数学をやるには必須の最低限の技術的知識です。 それ以前の知識にかかわりなく、この部分に難点があるとご自分で本格的に数学をやる際の躓きの石になります (実際長年の経験ではこの部分が不確かな方が多い!)。
  この部分に十分に習熟されている例外的な方を除いては、なるべく早いうちの履修をお勧めします。
項目
  1. イントロダクション Σ、数学的帰納法
  2. 集合の代数、集合族の算法
  3. 写像、像と原像
  4. トピックス 写像の代数
日付 隔週土曜日・全3回
  7/8、 7/22、 8/5
時間   第1回のみ、11:00−13:00
  第2・3回は、13:00−16:00
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講座名 EA. 一般位相(基礎編) その1 レベル 初級
内容   膨大になりすぎた一般位相の教程を整理して、解析学や幾何学、代数等の特定分野の手段として必要な概略と 位相構造の構造そのものを問題にしたりいくつかの位相を同時に扱う発展編とに分けました。 それ以上の発展的知識は問題や付録として付け加えるつもりです。
項目
  1. 距離空間の基礎概念I
    1. 距離関数
    2. 集合の直径、有界性
    3. 点列と点列の収束
    4. Cauchy列と完備性
    5. 距離空間の連続写像
  2. 位相空間の基礎概念I
    1. 開集合系、閉集合系、近傍系
    2. 点のトポス
    3. 連続写像
コンパクト性、連結性に続く
日付 土曜日・全3回(変則日程です
  5/27、 6/10、 7/8
時間   14:00−18:00
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講座名 MA. 関数解析概論 レベル 初級・中級
内容 〔2017/6/24更新〕 20世紀前半に微積分や解析学が自然に住まう世界の可能性を予感した多くの仕事が出てきますが、 それらをはるかに飛び越して、解析学が展開される場の本質をシャープにとりだしたのが、Banachの線型作用素論です。 その中には19世紀解析学の膨大な成果が凝縮されています。以後、Banachの指し示した方向を基本として関数解析学という巨大な分野が自立するのです。
 
  副産物として、Banach空間やその上の線型作用素の勉強をちゃんとするとあなたが微積分や解析学の理論で何を理解してないかもわかります!  もう一度今まで皆さんが積み上げた解析の勉強の再整理をしてください。
項目
  1. ノルム空間の基本事項
  2. Banach空間
    1. 定義からの基本的な帰結
    2. 基本的な例
    3. 完備化
    4. BaireのCategory
    5. 任意の添え字をもつ総和可能な級数
  3. Banach空間上の線型作用素
    1. 有界作用素、有界作用素の空間
    2. 一様有界性原理
    3. 開写像定理と閉グラフ定理
  4. 共役空間(強双対)とその表現 に続く
日付 隔週土曜日・全3回
  7/1、 7/15、 7/29
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. C*代数と作用素環 レベル 中級
内容   正値汎関数の基礎理論を詳細に扱います。目標はGelfand-Naimarkの表現定理、 そのあとvon Neumann環の理論の基本的な部分とC*環の表現を次の目標にします。
項目
  1. 正値作用素の例
  2. 正値作用素から導かれるHermite形式
  3. 正値汎関数の基本的性質
  4. Jordanの分解定理
日付 隔週土曜日・全3回
  5/20、 6/3、 6/17
時間   14:00−18:00
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講座名 MC. 「シュワルツ超関数入門」を読むII レベル 中級
内容   緩増加超関数のFourier変換からSchwartzの核定理第3章あたりまでを、とりあえず読み進みたいと思います。
項目  
日付 隔週日曜日・全3回
  7/2、 7/16、 7/30
時間   14:00−18:00
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 2016年度 春期集中セミナー
一覧
C*代数の立場から Hilbert空間の作用素再論 4月29日(土・祝)
30日(日)
解析学特論 無限積と無限積の妙技 5月3日(水・祝)
4日(木・祝)
幾何学と代数特論 有限体 5月6日(土)
7日(日)

※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。

 
〔料金について〕
  • いずれの講座も、料金は¥18,000(学割¥15,000)です。

 
講座名 C*代数の立場から Hilbert空間の作用素再論
内容   この講座は何らかの形で、Hilbert空間や作用素の基本事項を勉強した事のある方向けの、まとめの講座です。
  Hilbert空間とBanach空間の極基礎的な事は既知とします。例えば、 Rieszの表現定理とか作用素ノルムの定義と基本的な性質などは既知として扱います。 ただし、基本知識は命題は、引用し根拠を明らかにします。 非可換解析学ではHilbert空間の作用素が実数や、複素数のように解析の展開の土台になります。 表現を通して作用素たちを数のように扱うための準備です。
項目
  1. 線型作用素、半線型形式概略
  2. 双対空間としてのHilbert空間
  3. Banach空間上のコンパクト作用素
  4. Hilbert空間上のコンパクト作用素
日時   4月29日(土・祝) 14:00−18:00、
  4月30日(日) 11:00−16:00
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講座名 解析学特論 無限積と無限積の妙技
内容   解析関数の取り扱いで理論的にも、実用的にも重要な概念と方法の入門編です。 入門の性格を考慮して、過度の厳密性は避けて、面白い例を計算してみましょう。
  集中の時間的制約を考え、本格的な整関数の積表現等は別の機会に譲り、神秘的なJacobiの積公式、 Eulerの公式さらにTheta函数の基本的な公式を取り上げます。Theta函数はSinの一般化です。
項目
  1. 準備
  2. 無限積概論
  3. Jacobiの3重積公式
  4. Theta函数
日時   5月3日(水・祝) 14:00−18:00、
  5月4日(木・祝) 11:00−16:00
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講座名 幾何学と代数特論 有限体
内容   2013年に代数特論で体を取り上げた時、補充と例として取り上げるはずだったのですが、講座編成の都合で休止したままになっていました。 続きとしては有限幾何等の興味深いテーマがあります。
  今回は極く基本的なことのみ取り上げますが、トピックスとして有限体上の幾何の諸量の数えあげから現れる、2項係数のq類似を取り上げます。 これは有限幾何級数系から自然に生じる一連のFibonacci型数論の一種です。
項目
  1. 有限体の構造
  2. 1の冪乗根・円分多項式
  3. Gauss関数(2項係数のq類似)
日時   5月6日(土) 14:00−18:00、
  5月7日(日) 11:00−16:00
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 2016年度 春学期講座
入門
IA 入門解析教程
IF 数学の基本語彙と文法III
入門・初級
IB 複素関数論特論
楕円関数とTheta関数 その1
IC 代数学と幾何学よりのトピックス
射影空間
IE Fourier変換の理論I
IG 特性関数
初級
EA 一般位相からのトピックス
G 複素計量空間
中級
MB C*代数と作用素環 正値汎関数とイデアル
MC Fourier解析と超関数
「シュワルツ超関数入門(垣田高夫著、日本評論社)」を読む
演習
超関数論演習 2月18日(土)
超関数のテンソル積、接合積(畳みこみ)の演習〔入門編〕 4月2日(日)、16日(日)

〔講座について〕 【2017/3/15 更新】
  • 今学期のIF「数学の基本語彙と文法III」は休講です。 代替え講座として、2月18日(土)に1日集中形式で「超関数論演習」を開講します。
  • 今学期のEA「一般位相からのトピックス」は休講です。 代替え講座として、4月2日(日)、16日(日)の全2回で「超関数のテンソル積、接合積(畳みこみ)の演習〔入門編〕」を開講予定です。
〔料金について〕
  • ※代替え講座「超関数論演習」のセミナー参加料は、¥10,000です。
  • ※代替え講座「超関数のテンソル積、接合積(畳みこみ)の演習〔入門編〕」のセミナー参加料は、¥21,000です。
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000(学割 ¥25,000)〕。
  • 各回払いの場合は、以下の通りです:
    • 全3回講座では、第1回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第2回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第3回目¥10,000(学割 ¥9,000)です。
    • 全4回講座では、第1回目¥10,000(学割 ¥9,000)、第2回目以降¥8,000/回(学割 ¥6,000/回)です。
    • 全6回講座では、第1回目¥6,500(学割 ¥6,000)、第2回目以降¥5,500/回(学割 ¥4,000/回)です。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 入門解析教程 レベル 入門
内容   数学を学ぶ際にその概念や定理、理論が形成されてきた経緯を知ることは 想像力をたくましくして学ぶことはとても有用です。 比較的モダンな取り扱いの初級解析教程の前に、入門解析教程を置いているのはそういう理由です。
  Newton、Leibnizから始まった、古典解析学の黄金時代は約100年後のEulerの死を持って幕を閉じました。 解ける問題は既に解きつくされたのではないか? と言われる長期の停滞の時代に入ったのです。 一つの原因が、連続や微分といった基礎概念が運動の直感に頼ったり、0/0の究極の比 というような怪しい無限小の哲学に支えられていることでした。
  18世紀末Lagrangeは初めて、微積分の基礎から無限小の哲学を追放し、微分可能な関数の一般論を展開しようと試みました。 18世紀末新世代のCauchyは、Lagrangeの基礎付けが実解析の基礎として不十分なことを見抜き、それまで扱い兼ねて放置されていた、 基礎概念に目を向け、極限を基礎にして微積分の再構築を開始しました。 当時Parisに留学したAbelによれば、18世紀の末から19世紀の初めに活動した輝かしいParisの数学者たちの中で、 まともな数学者はCauchyだけであると若者らしく断言しています。現在の微積分のスタンダードの形になるには Weierstrass学派の鋭い批判による改良を経て、ほぼ20、30年で現在の私達におなじみのいわゆる解析教程の形が出来上がるのです。
項目
日付 日曜日・全6回(変則日程です
  1/29、 2/12、 2/26、 3/19、 4/2、 4/16
時間   11:00−13:00
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講座名 IB. 複素関数論特論
楕円関数とTheta関数 その1
レベル 入門・初級
内容   もともとは会員の要望に基づき、Jacobiの3重積公式等を「無限積の妙技」と題して集中で取り上げる予定でしたが、 いくらテクニカルに面白くても、その背後に隠された世界がせめて垣間見られるようにしなければ面白くないので、 楕円関数とtheta関数について理解することから始めることにしました。
  楕円関数は円関数の一般化ですから、当然、代数的、幾何学的、数論的な面白い結果が期待されます。 それゆえ集中的に研究され、様々に枝分かれして新しい結果を生んできました。 そして楕円関数論の困難の解決のための基礎付けからWeierstrassやRiemannの複素関数論が生まれ、Riemann面や解析形体が現れたのです。
  予備知識としては、微積分学の延長としての複素関数論の極く基本的な事;正則関数の基本的諸性質から、 有理型関数とResidue公式ぐらいまでの、大雑把な知識を仮定します。
項目
  1. 有理型関数の周期加群
  2. 周期加群の基本領域
  3. 楕円関数と楕円関数体
  4. 楕円関数の一般論
  5. p関数と加法定理、p関数による楕円関数の表示
  6. 楕円関数体の代数的性質
日付 土曜日・全3回(変則日程です
  2/11、 2/25、 3/18
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. 代数学と幾何学よりのトピックス
射影空間
レベル 入門・初級
内容   私が数学科1年生の時、必修の基礎教育科目「幾何学」が、当時斬新だった線型代数と射影変換群を基礎にした射影幾何でした。 ちょっと前までは射影幾何というと学部生には古典的な立場からの講義のみだったと思います。 この時の指定教科書で線型代数を学んだ御蔭で、線型代数を幾何学的に観ることができるようになった気がします。 と同時に、私はこの教科書の行列算を基礎にする証明に違和感を覚えて、抽象線型代数の使い方も学ぶことができました。
  線型空間を幾何学的に観ることは解析学、さらに関数解析学の基本です。基本の型である線型代数の応用演習としてお勧めします。
項目
  1. 準備
  2. 射影空間の定義と同時座標
  3. 双対原理
  4. 射影変換
日付 変則日程・全3回
  3/20、 4/1、 4/15
時間   14:00−18:00
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講座名 IE. Fourier変換の理論I レベル 入門・初級
内容   Fourier解析は19世紀以降の解析学の要で、Fourierの主張の正当化が現代数学の発展の母体になりました。 集合論、測度・積分論、関数空間の理論等はみなこの流れの中から派生しました。 またFourier解析が既にそうであったように、一般化である表現論は解析のみでなく代数、幾何、数論などに新しい展開を与えました。 講座MBで取り上げたGelfandの表現定理もまたFourier変換の一般化です。
項目
  1. Fourier変換の概念
  2. 急減少関数の空間
    1. 急減少関数のクラスの定義
    2. 急減少関数の空間の構造
    3. 急減少関数の空間上のFourier変換
    4. 接合積
  3. Fourier変換の固有関数とHermite多項式
  4. Fourier変換のL2理論
    1. 熱核の近似定理
    2. L2(R)のFourier変換
    3. L2微分
日付 日曜日・全6回(変則日程です
  1/22、 2/5、 2/19、 3/12、 3/26、 4/9
時間   11:00−13:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法III レベル 入門
内容   定員に達しませんでしたので、今学期は休講いたします。
項目  
日付   休講
時間
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講座名 IG. 特性関数 レベル 入門・初級
内容   講座IE、MCに対して、こちらはFourier変換特論というべきものです。
  特性関数は確率測度のFourier変換です。分布と分布の特性関数が全単射に写され、分布の相互の関係の研究が 特性関数の相互関係の研究に帰着するわけです。
項目
  1. 序論
  2. 複素数値確率変数
  3. 複素数値確率変数の独立性
  4. 特性関数の性質
日付 隔週土曜日・全3回
  3/11、 3/25、 4/8
時間   14:00−18:00
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講座名 EA. 一般位相からのトピックス レベル 初級
内容   定員に達しませんでしたので、今学期は休講いたします。
項目  
日付   休講
時間
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講座名 G. 複素計量空間 レベル 初級
内容   抽象線型代数からのトピックス第3弾です。正定値とは必ずしもならない一般計量の線型空間を取り上げます。 このような空間はEinsteinの特殊相対理論のモデルとしてMinkowskiにより導入されました。 一体この世界の幾何はどんなふうになっているのでしょうか? 線型代数の立場からは非退化な双線型あるいは共役線型形式の理論にほかなりません。
項目
  1. 計量線型空間
  2. 計量線型空間の幾何学
  3. 正規直交基底
  4. 有限次元線型空間の計量
日付 隔週日曜日・全3回
  1/22、 2/5、 2/19
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. C*代数と作用素環 正値汎関数とイデアル レベル 中級
内容   秋学期講座と冬期集中セミナーでGelfandの定理、自己共役元の順序までまとめました。目標のGelfand-Naimarkの定理へのその1です。
項目
  1. 近似単位元
  2. *準同型
  3. 遺伝的C*部分代数
  4. Positive functionals
日付 隔週日曜日・全3回
  3/12、 3/26、 4/9
時間   14:00−18:00
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講座名 MC. Fourier解析と超関数
「シュワルツ超関数入門(垣田高夫著、日本評論社)」を読む
レベル 中級
内容   今回は、急減少関数とFourier変換その1 p.1-p.30を読みこなすことを目標にします。 この教科書の特徴は、入門にしては珍しく基礎空間の局所凸位相について丁寧に書いているところです。
  講座IEは1変数限定ですが、今学期についてはMCの内容とほぼパラレルです。 補いとしてIEを同時に学ばれるのは、見通しと理解に役立つでしょう。数学書の読み込みの演習にご利用ください。
  *テキストは、シュワルツ超関数入門(垣田高夫著、日本評論社)です。
項目
  1. 多重添え字の記法といくつかの基礎公式
  2. Fréchet空間
  3. 急減少関数のFréchet空間
  4. 急減少関数のFourier変換
日付 隔週日曜日・全3回
  1/29、 2/12、 2/26
時間   14:00−18:00
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講座名 超関数論演習
内容   前回同様、簡単に基本概念を説明して主に1変数の例題を扱います。
項目
  1. 超関数の乗法
  2. 超関数の導関数
  3. 超関数の原始関数
日時   2月18日(土) 14:00−18:00
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講座名 超関数のテンソル積、接合積(畳みこみ)の演習〔入門編〕
項目
  1. テンソル積の定義
  2. テンソル積の諸性質
  3. 超関数の畳みこみ
  4. 畳みこみの諸性質
  5. 超関数の畳みこみ代数
日時   4月2日(日) 14:00−18:00、
  4月16日(日) 14:00−18:00
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 2016年度 冬期集中セミナー
一覧
関数解析概論 合成積近似法 12月17日(土)
18日(日)
Schwartz超関数入門I・II 12月23日(金・祝)
1月14日(土)
C*代数と作用素環 12月24日(土)
25日(日)
連続群の表現入門[代数学解析特論] 1月8日(日)
9日(月・祝)
会員の集いと懇親会 1月15日(日)

※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。

 
〔料金について〕
  • 2日間の集中講座は¥18,000(学割¥15,000)です。1日のみご参加の場合は¥10,000(学割¥8,000)です。

 
講座名 関数解析概論 合成積近似法
内容   ある関数のクラスの性質を調べるとき、良い関数の族で近似をする手法が大活躍します。 例えば、現代解析を勉強された事のある方はFriedrichsの軟化子という強力な道具に出会ったことがあるでしょう。 頻繁に出会う割にちゃんと知らないのでその都度やり直す必要が生じます。このようなTypeの理論の連続レベルでのまとめです。 このようなTypeの近似法の理論をより一般的な連続レベルでまとめておけば便利だなというのがこの講座の動機です。 御自分でEuclid空間の解析の本格的な勉強や研究をしたい方にお勧めします。測度や位相についての基本的な知識は仮定します。 Friedrichsの軟化子の定義と基本的な性質の節を付け加えました。
項目
  1. 準備
  2. 移動作用素
  3. Euclid空間上の合成積の定義と基本的な結果
  4. 近似単位(総和核)
  5. Friedrichs Mollifier
日時   12月17日(土) 14:00−18:00、
  12月18日(日) 11:00−16:00
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講座名 Schwartz超関数入門I・II
内容   秋学期の関数解析的なFourier級数論では、LpやRadon測度のFourier級数を取り扱いました。 その自然な延長として、Dualityを用いて超関数が導入出来、超関数についてのFourier解析ができるというお話をしました。
  前々から予告していますように、Euclid空間上のFourier解析を予定しています。 この講座ではFourier解析の自然な枠組みとしてSchwartz超関数を扱います。 そこで超関数に慣れていただくために2回に分けてI(12月23日)では理論の概略と例、II(1月14日)では基本的な超関数の例を調べます。 
日時   12月23日(金・祝) 13:00−17:00、
  1月14日(土) 13:00−17:00
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講座名 C*代数と作用素環
内容   C*代数は、ある意味でコンパクトハウスドルフ空間上の連続関数環や有界線型作用素の代数の部分代数を考えているので、 実の概念や、正、順序の概念が解析を進める上で重要なカギになります。したがってこの部分に集中を充てることにしました。 この集中を踏まえて、春学期はPositive Functionalを扱う予定です。
  時間があれば秋学期の補充としていくつかのTopicsを扱います。例えば、つい最近、Multiplier代数の完全な特徴付けができました。 Multiplier代数は、C*代数Aを閉イデアルとして含む 単位を持つ最大のC*代数なのです。
項目
  1. C*代数の正元
  2. Topics 1: C*代数の直和
  3. Topics 2: Gelfandの定理の応用の仕方
日時   12月24日(土) 14:00−18:00、
  12月25日(日) 11:00−16:00
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講座名 連続群の表現入門[代数学解析特論]
内容   C*代数と並んで現代数学の要であるFourier解析の発展編です。表現論を通じて、数学の自然を学びましょう。 各種概念、道具が個別バラバラではなく自然の中で相互密接に相互作用するありさまを見てください。 現代数学の演習に最適です。
項目
  1. 群の作用
  2. 不変測度
  3. 位相群の表現
  4. コンパクト位相群
日時   1月8日(日) 14:00−18:00、
  1月9日(月・祝) 11:00−16:00
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講座名 会員の集いと懇親会
内容 〔2017/1/13更新〕 今回は数学工房の日ごろの活動から、会報の桑野道場に寄せられた見事な解答の紹介を道場を担当されている半田さん、 また作用素環論研究会のメンバーである原田さんに作用素環と物理学とのかかわりをお話しいただきます。
  その後は場所を変えて、中華レストランでの懇親会を予定しています。この機会に数学の仲間との交流をお楽しみください。 普段の講座になかなか来られない方もどうぞ。参加ご希望の方はお早めに。
 
【会員の集い (14:00-16:00)】
  参加費: お茶代を含めて¥2000
  予定: (1)熊野充博さんによる会報No.121の問題のエレガントな解決(仮題)〔14:10-15:00; 半田伊久太さん〕
      (2)作用素環と場の量子論〔15:15-16:00; 原田雅樹さん〕
    *半田さんは、家族にご事情があり (1)は当日中止になることもございます。その場合は、下記のテーマで 私(桑野)がお話しさせていただきます。
      ■Dualityとは?(易しい例で)
    尚予定通りに講演が行われる際には、春学期講座の御説明を手短にします。
【懇親会 (17:30-19:30)】
  会費: ¥4500です。
  場所: 文京グリーンコート 海外天   (http://www.bunkyo-greencourt.com/restaurant/index.html
  TEL: 03-5977-3510
  住所: 〒113-0021 文京区本駒込2-28-10
日時   1月15日(日) 14:00より
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 2016年度 秋学期講座
入門
IA 入門解析教程II
IG 確率論の数学的枠組み
初級
IB 複素関数論
大域的Cauchy理論II、有理型関数
IE Fourier解析II Lp理論
G 抽象線型代数特論 対称変換とスペクトル
初級・中級
IC 環の表現論II
MA 函数解析概論IV
局所コンパクト空間上のRadon測度とRieszの定理
中級
MB C*代数と作用素環II

〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000(学割 ¥25,000)〕。
  • 各回払いの場合は、以下の通りです:
    • 全3回講座では、第1回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第2回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第3回目¥10,000(学割 ¥9,000)です。
    • 全4回講座では、第1回目¥10,000(学割 ¥9,000)、第2回目以降¥8,000/回(学割 ¥6,000/回)です。
    • 全6回講座では、第1回目¥6,500(学割 ¥6,000)、第2回目以降¥5,500/回(学割 ¥4,000/回)です。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 入門解析教程II レベル 入門
項目
  1. 解析関数II
    1. 逆関数の概念と自然対数関数
    2. 指数関数べき乗関数
    3. 複素化
  2. 微積分の基本定理と帰結
日付 隔週日曜日・全6回
  9/25、 10/9、 10/23、 11/6、 11/20、 12/4
時間   11:00−13:00
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講座名 IB. 複素関数論
大域的Cauchy理論II、有理型関数
レベル 初級
項目
  1. 大域的Cauchy理論II
    1. まとめ
    2. residueの理論と応用
  2. 孤立特異点
    1. 孤立特異点、極
    2. 有限主要部を持つLaurent級数
    3. 真性特異点
  3. 有理型関数
    1. 有理型関数の代数
    2. 基本定理
日付 土曜日・全3回(変則日程です
  9/17、 10/1、 10/22
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. 環の表現論II レベル 初級・中級
項目
  1. 多元環の表現 記号、定義、基本概念
  2. 表現の正則表現への帰着
  3. 原始イデアル
    1. 分数イデアル
    2. 原始イデアル
  4. 根基
日付 隔週日曜日・全3回
  9/25、 10/9、 10/23
時間   14:00−18:00
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講座名 IE. Fourier解析II Lp理論 レベル 初級
項目
  1. Lp空間の概略
  2. Lp上のFourier級数
  3. L2理論
  4. L1上の接合積代数とFourier級数
日付 隔週日曜日・全6回
  9/18、 10/2、 10/16、 10/30、 11/13、 11/27
時間   11:00−13:00
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講座名 IG. 確率論の数学的枠組み レベル 入門
内容 〔2016/11/1更新〕前半は、2項分布からF分布までを材料にした解析演習、後半は 多変量解析に現れる2次形式、双線型形式を中心に分散共分散行列や相関行列等の構造を明らかにする予定です。 前半が解析演習なら後半は線型代数演習といえましょう。
  今回は2つのテーマが独立なので前半だけ、後半だけの参加も可能です(その場合はご相談ください)。
項目
  1. 演習 基本的な分布
    1. 離散モデル
    2. 連続モデル
    3. 正規分布と関連する分布
  2. 多変量の特性量
    1. 分散共分散行列
    2. 高次モーメント
    3. 正準相関
日付 隔週土曜日・全3回
  11/5、 11/19、 12/3
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数特論 対称変換とスペクトル レベル 初級
項目
  1. 最大原理
  2. 対称変換の順序
  3. スペクトル分解とFunctional Calculus
  4. 特異値、特異ベクトル
日付 隔週日曜日・全3回
  9/18、 10/2、 10/16
時間   14:00−18:00
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講座名 MA. 函数解析概論IV
局所コンパクト空間上のRadon測度とRieszの定理
レベル 初級・中級
内容 〔2016/10/31更新〕測度と言った時、現代の解析学では双対空間の元と同一視を当然の事として断りなしに使います。 測度を超関数の特別なものとみなす立場です。その基礎を与えるのがRiesz-Markov-Kakutaniの表現定理です。 この定理は、局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度全体が全変動ノルムによってなすBanach空間と 無限遠で消える連続関数全体のBanach空間の双対空間が同一視できるという結果です。
  皆さんもどっかでこの定理の応用に出会っているのではありませんか?
項目
  1. 複素測度
  2. Radon-Nikodymの定理
  3. 全変動測度
  4. Radon測度
  5. Riesz-Markov-Kakutaniの表現定理
日付 隔週日曜日・全3回
  11/6、 11/20、 12/4
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. C*代数と作用素環II レベル 中級
内容   基礎から丁寧に論じますが、関数解析とBanach環の基本的な事は既知とします。今回と次回で、 C*代数のHilbert空間上への*-表現の準備をします。新たに、 C*代数の拡張(Multiplier Algebra)とFunctional Calculusの節も付け加えました。 
項目
  1. *-代数 定義と基本的性質
  2. C*代数 定義と例
  3. C*代数の基本的な性質
  4. C*代数の乗法子代数
  5. C*代数のGelfand表現とその帰結
  6. Functional calculusとスペクトル定理
  7. 正元
日付 隔週日曜日・全3回
  10/30、 11/13、 11/27
時間   14:00−18:00
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 2016年度 夏期集中セミナー
入門
多変量解析とMatrix Algebra 8月20日(土)
21日(日)
数学の基本語彙と文法II 無限の作法 9月19日(月・祝)
22日(木・祝)
初級
有限群の表現 代数特論 8月27日(土)
28日(日)
Lp空間とその双対 9月10日(土)
11日(日)
中級
Banach環のGelfand表現 9月3日(土)
4日(日)

  2016年会費(1月〜12月) ¥3,000(学生 ¥1,500)のご納入をお願いします。
  ※集中セミナーに参加されるには年会費のお支払いが必要です。セミナー受講料と一緒にお支払いが便利です。
 
〔料金について〕
  • 2日間の集中セミナーは¥18,000(学生¥15,000)です。

 
講座名 多変量解析とMatrix Algebra レベル 入門
内容   多変量解析を材料にした、線型代数と解析の演習です。確率変数とその分布等の基本概念の簡単な復習をしたのち、 作用素値関数の確率測度による積分から始めます。表現定理を利用すれば、唯の数値関数の積分になってしまいます。 また、平均や分散共分散行列の取り扱いではSchatten表示と呼ばれる、ねじれたテンソル表示を導入します。 これを用いると、1次元確率変数についての公式がそのままの形で成立します。 無論、標準行列表示による公式だけなら座標を固定して定義にしたがって丁寧に計算すればよいのですが、 この際より発展的な見方に結び付けておきましょう。
項目
  1. 準備、記号
  2. 行列値関数の確率測度による積分
  3. 平均、分散・共分散行列
  4. 多変量正規分布
日時   8月20日(土) 14:00−18:00、
  8月21日(日) 11:00−16:00
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講座名 有限群の表現 代数特論 レベル 初級
内容   有限群の表現論は、より現代数学の先端の部分まで勉強したければ、線型代数のアドバンストコースとして、是非やっておいたほうがよいものの一つです。 というのは、以後しばしば出てくる考え方の典型であるとともに、始めは何をやっているのか分からないと言ったタイプの数学の典型です。 (今回のBanach環の集中も同種の事を問題にしています。) 私が大学院の学生だったころは、Lie群やLie環が微分幾何学の研究者の間に普及しつつあったころで、Lie群やLie環を専攻する大学院生が苦労していたのを覚えています。 彼らと語らって「そもそも表現論とは何することなのか?」をその分野の研究者にお願いして勉強会などを開いたりもしました。 わかりにくさの原因の一つは表現論の対象が直接数学的対象を扱うのでなく、対象の群全体の働きを、より具体的な作用素の空間の中で可視にすると言う高次の操作ゆえでしょうか。 線型代数の延長という意味では、この手の物の中ではとりつきやすいはずですが!
 
  通常講座で取り上げるはずでしたが、通常講座では多元環の表現論を体系的にやっているので集中セミナーで取り上げることにしました。 抽象線型代数と一般的代数の基本事項の素養は仮定します。
項目
  1. 表現とG-Module
  2. 表現の誘導
  3. Schurの補題
  4. 表現の同値
  5. 指標
  6. 有限群の正則表現
日時   8月27日(土) 14:00−18:00、
  8月28日(日) 11:00−16:00
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講座名 Banach環のGelfand表現 レベル 中級
内容   夏学期のBanach環のスペクトルの続編、Gelfandの理論の関数解析学における重要性と、現代数学における影響の大きさ、 さらに初学者の理解の困難を勘案してこの部分だけ独立させました。この準備の下、秋学期のMB「C*代数と作用素環」ではいよいよC*環に入ります。
項目
  1. 準備
  2. 指標空間
  3. Gelfandの表現定理
  4. Banach環l1(Z)
  5. トピックス
日時   9月3日(土) 14:00−18:00、
  9月4日(日) 11:00−16:00
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講座名 Lp空間とその双対 レベル 初級
内容 〔2016/9/6更新〕 今回は応用上でも、理論上でも最も基本的なLpとその双対の理論を扱います。 この話はもともと秋学期以降に予定しているFourier級数やFourier変換のLp理論の準備から派生しました。 したがって初めはn次元Euclid空間上での話にするはずでしたが、確率論等への応用の広さから 一般の測度論の枠組みで、基本手段として用いられる最低限の話に限定しました。
  今回取り扱えなかった合成積近似の一般論は別の機会に扱います。
項目
  1. 準備 Banach空間と測度論から
  2. Lp空間(p∈[1, ∞] )とL
  3. Lp空間の双対の表現
  4. 測度収束、平均収束
日時   9月10日(土) 14:00−18:00、
  9月11日(日) 11:00−16:00
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講座名 数学の基本語彙と文法II 無限の作法 レベル 入門
内容   現代数学のどの分野に行くにしても基礎として知っておくべき内容です。特に使い方に慣れておく必要があるものを取り上げました。 使い方の例としては、あまりなじみがないだろう集合の濃度の理論やフィルターの一般論、無限次元線型空間などを取り上げました。
項目
  1. Zornの補題と選択公理
  2. 集合の濃度の理論
  3. 可算集合
  4. フィルタ
  5. 無限次元線型空間
日時   9月19日(月・祝) 14:00−18:00、
  9月22日(木・祝) 11:00−16:00
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 2016年度 夏学期講座
入門
IA 入門解析教程I
IF 数学の基本語彙と文法I
IG 確率論の数学的枠組み
初級
IB 複素関数論
IC 環の表現論
IE Fourier解析I
EA 位相空間と解析序説I
EB 現代ベクトル解析I
G 線型代数特論
線型写像の構造
初級・中級
MA 函数解析概論III
中級
MB C*代数と作用素環

【2016/5/12更新】
※講座EAは、定員に達しませんでしたので今学期は中止といたします。既に申し込まれた方にはご迷惑をかけます。お詫び申し上げます。 尚、この講座の重要性に鑑み次年度には開講する予定です。代替え講座として、EB 現代ベクトル解析I を開講いたします。
 
〔講座について〕
  • 今学期の新規開講講座は、IA、IC、IF、G、EB、MBの6講座です。
〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000(学割 ¥25,000)、ただし今学期のIFは¥22,000〕。
  • 各回払いの場合は、以下の通りです:
    • 全3回講座では、第1回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第2回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第3回目¥10,000(学割 ¥9,000)です。
    • 全6回講座では、第1回目¥6,500(学割 ¥6,000)、第2回目以降¥5,500/回(学割 ¥4,000/回)です。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 入門解析教程I レベル 入門
内容   2014年から2016年春学期まで6回にわたって初級解析教程として実数の公理論的特徴付けから始めて、 Fourier級数の入門までを現代数学の厳密なスタンダードにより扱いました。 今回のIAは、対照的に入門解析教程として17世紀の無限小解析の始まりから19世紀のCauchy等 による解析の基礎付けまでを、 その理論や公式を発見した過去の数学者のアイデアの歴史を考えつつ解析学の根本的な考え方を深めていく講座です。
項目
  1. イントロダクション 
    1. 2項係数
    2. 多項式関数と補間
  2. 無限小解析と実解析関数の発見
  3. 複素化の力
日付 隔週日曜日・全6回
  5/22、 6/5、 6/19、 7/3、 7/17、 7/31
時間   11:00−13:00
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講座名 IB. 複素関数論 レベル 初級
内容   春学期では複素対数関数とホモトピーを扱いました。前回までの中心は複素平面上の微分形式の理論でした。 今回はCauchyの方法による正則関数論と基本的な応用です。路のチェインは、正則関数の線型空間上の線型形式の部分空間 として導入されます。それから作られる商空間として路のコホモロジーが実現されます。
項目
  1. Cauchy理論I
    1. 積分定理、積分公式
    2. Cauchy-Taylorの表現定理
    3. 連続定理、一致の定理
    4. Cauchy理論のいくつかの帰結 Liouvilleの定理
    5. Weierstrass収束定理
  2. Cauchy理論II
    1. index関数
    2. 線型形式としての道
    3. 大域的Cauchy理論
日付 隔週土曜日・全3回
  7/9、 7/23、 8/6
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. 環の表現論 レベル 初級
内容   非可換、また単位を含まない場合も考慮した一般の多元環のイデアルの基礎知識と 表現論の基礎知識を学ぶことが目的です。ここで環Aの表現とはある線型空間V上の線型変換全体の多元環への準同型を言います。 同時にこの学びを通して既に学んだこと全体をより一般的な立場から学び直すことになります。
  予備知識として、線型代数、可換環の基礎知識は期待します。極基本的なことは、例えば服部昭著「群とその表現 共立数学講座18」第4章に解説があります。
項目
  1. 準備
  2. 環におけるイデアル
    1. イデアルと剰余環についての基本事項
    2. モジュラーイデアル
    3. 極小イデアル
  3. 環の表現
    1. 基本概念
    2. サイクリック表現と既約表現
    3. 商イデアルと原始イデアル
    4. 根基
  4. Kronecker テンソル
日付 隔週日曜日・全3回
  5/22、 6/5、 6/19
時間   14:00−18:00
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講座名 IE. Fourier解析I レベル 初級
内容   春学期は古典的なFourier解析の理論と若干の応用を扱いました。今期と次期で現代的なFourier解析の理論の準備です。 アドヴァンストコースは多変数のFourier解析の理論と超関数がテーマになります。
  若干の違いはあると思いますが、シュワルツ超関数入門(垣田高夫著、日本評論社)にパラレルにやりますので、参考書に指定します。 この講座を利用して本書を読むのもよいかもしれません。
項目
  1. Fejérの理論
  2. Fourier級数の各点収束、Dirichlet-Jordanの定理
  3. Fourier級数のL2理論
  4. Fourier級数のL1理論とConvolution
  5. Fourier変換の概念、急減少関数
日付 隔週日曜日・全6回
  5/15、 5/29、 6/12、 6/26、 7/10、 7/24
時間   11:00−13:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法I レベル 入門
項目
  1. 集合の代数
    1. 基本概念
    2. 集合の代数
  2. 写像
    1. 写像の定義と基本的定義
    2. 像と原像と集合算
    3. 写像の代数
日時   5月7日(土) 14:00−17:00、
  5月8日(日) 11:00−17:00
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講座名 IG. 確率論の数学的枠組み レベル 入門
内容   春学期はベクトル値確率分布を中心に基本事項と例題を丁寧にやりました。今学期はいよいよ期待値積分に入ります。 分布のオペレーション等の見かけ上の複雑さは、ある確率変数から誘導された分布だからで、 そのような難点は理念的なsymbolicな積分を導入することにより解消することができます。 導入されたsymbolicな積分を基礎に種々の特性量、さらに特性関数が導入されます。
項目
  1. 期待値積分とその諸性質
  2. Symbolic積分と期待値
  3. 期待値から誘導される基本的な諸量
日付 隔週日曜日・全3回
  7/3、 7/17、 7/31
時間   14:00−18:00
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講座名 EA. 位相空間と解析序説I レベル 初級
内容 【2016/5/12更新】 定員に達しませんでしたので今学期は中止といたします。 尚、この講座の重要性に鑑み次年度には開講する予定です。
項目  
日付   休講
時間  
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講座名 EB. 現代ベクトル解析I レベル 初級
内容 〔2016/5/24更新〕 本来解析学の対象は我々の特定の計測体系によらない性格を持っています。 例えばそこに1個の特殊関数があるとき、重要な関数であるほど沢山面白い変換公式を持っています。我々の探求すべき関数あるいは解析的な対象は 一群の関係式の表現に無関係に存在する実態です。
  そのような立場(Riemannの思想の一番基本的な部分)から微積分の基礎を構築する中級解析教程です。 先ずは基本事項を整理した後に、座標フリーの微積分の構成の準備として、多重線型形式とテンソル、行列式の一般論、から始まります。
項目
  1. 基本概念
  2. 多重線型形式、テンソル、行列式
  3. 計量ベクトル空間と作用素のクラス
日付 隔週土曜日・全3回
  5/28、 6/11、 6/25
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 線型代数特論
線型写像の構造
レベル 初級
内容   ある問題に表れるあらゆる対象を同値関係で分類し標準形を定める。またより単純な基本成分に分解すると言うのは理論の発展のより高度な洗練された部分と言えるでしょう。 無論行列表現を通じて応用上でも重要です。この中に現れる基本的なアイデアを総合すると環の表現論へと広がっていきます。 さらに無限次元の作用素論も、有限次元の構造理論のまねをして構造を定める事が動機でした。(ただそうは問屋がおろさぬ部分が現れる!)
  抽象線型代数の復習を兼ねてより高度な応用、また理論の作り方を学んでください。 表現論や作用素環をやる方はそのバックグランドとして有用です。
項目
  1. 基本事項 まとめ
  2. シフト不変部分空間と最小多項式
  3. 線型変換の分解
    1. 可約性、既約性、単純、半単純
    2. 線型変換の標準形、行列の標準形
    3. 最小多項式による分解
    4. Jordan標準形
日付 隔週土曜日・全3回
  7/2、 7/16、 7/30
時間   14:00−18:00
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講座名 MA. 函数解析概論III レベル 初級・中級
内容   2015年度春学期は主に局所凸空間の一般論を取り扱いました。それに関連して抽象位相IIIではFréchet空間と基本的な例を取り上げました。 今学期は、関数解析の最も原理的な道具の一つであるHahn-Banachの定理とDualityについて丁寧に理解していきましょう。 Dualityは極基本的な事に限定します。
項目
  1. Hahn-Banachの定理の2つの表現形式
    1. 幾何学的表現
    2. 解析的表現
  2. Hahn-Banachの定理の応用の3つの基本的なタイプ
  3. 演習 Hahn-Banachの定理の使い方
  4. Dualityの基本的な事
日付 隔週日曜日・全3回
  5/15、 5/29、 6/12
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. C*代数と作用素環 レベル 中級
内容   2014年の夏期集中セミナー以来、通常講座でHilbert空間上の作用素の理論の基礎を一通り取り上げ、 またBanach環の表現も力不足の感がありましたが、一通り一般論を押さえておきました。 漸くC*代数と作用環の一般論に入ります。
  入口の部分は比較的取り扱いやすいMurphyの教科書「C*-Algebras and Operator Theory」(Academic Press)に沿ってやる予定です。 この教科書を御自分で読み通される手助けにするのもよいかもしれません。一般位相、代数、関数解析の基礎素養を期待します。
項目
  1. Banach代数とスペクトル理論
    1. Banach Algebrasの基本事項
    2. スペクトルの初等理論とその帰結
    3. Gelfand表現
    4. Banach空間上のコンパクト作用素とFredholm作用素
  2. C*-AlgebrasとHilbert空間上の作用素 に続く
日付 隔週日曜日・全3回
  6/26、 7/10、 7/24
時間   14:00−18:00
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 2015年度 春期集中セミナー
一覧
Banach空間における弱位相I 4月9日(土)
10日(日)
Banach環の構造空間 4月24日(日)
19世紀実解析学の勃興(入門) 4月30日(土)
5月1日(日)
再生核Hilbert空間への入門 5月3日(火・祝)
4日(水・祝)

※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。

 
〔料金について〕
  • 2日間ご参加の場合は¥18,000(学割¥15,000)、1日のみご参加の場合は¥10,000(学割¥8,000)です。

 
講座名 Banach空間における弱位相I
内容   ノルム位相による収束に対して弱位相による収束は微積分でいえば、一様収束に対する、各点収束の役割に当たります。 極限によって得られる対象の構成などに本質的な役割を果たします。対比させながら考えるとよいでしょう。
  しばらく前に位相線型空間においてDualityの枠組みで弱位相を論じましたが、ここでは応用上良く現れる Banach空間および共役空間のDualityより生じる弱位相を取り扱います。 あまり欲張らず、今回は(2)Hahn-Banachの定理の重要な帰結である 凸集合上で弱閉とノルム閉であることの同一性とその帰結、 (3)Banach空間のDualityの帰結としてのGrothendiekの定理、Banach空間の連続関数空間への埋め込み の2つを取り上げます。 距離付け可能性、反射的Banach空間の弱コンパクト性等 具体的な応用の多いテーマはIIとして別の機会に取り上げる予定です。
  位相やノルム空間、Banach空間についての極く基本的な知識は仮定します(講座EA程度)。
項目
  1. 概念、準備
  2. 弱位相、汎弱位相
  3. 凸集合における弱位相とノルム位相の関係(Mazurの定理、Alagoluの定理等)
  4. 双対性、Banach空間の埋め込み定理
日時   4月9日(土) 14:00−18:00、
  4月10日(日) 11:00−16:00
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講座名 Banach環の構造空間
内容   可換Banach環なら連続な乗法的汎関数の空間あるいは極大イデアルの空間に位相を入れて連続関数の空間として表現するのはもっとも基本的なアイデアの一つです。 それでは非可換ならば?それが今回のテーマで 原始イデアル(既約表現の核)、極大両側イデアルの空間の位相空間化を取り扱います。
  この1日セミナーでもってBanach環のシリーズの最終といたします。
日時   4月24日(日) 13:00−17:00
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講座名 19世紀実解析学の勃興(入門)
内容   19世紀の解析学の特徴は、御存じのように概念の明確化と論理の厳密化でした。そのような流れのきっかけになったのは、絃の小振動の初期値問題をEulerが解く際に、 式で表現できるとは限らぬ任意関数を初期値として導入した事、さらにその三角級数展開を利用した事から始まりました。 そこで、函数とは何か?それが積分できるとはどういうことなのかということをめぐって論争が起きたのです。
  さらに Fourierの熱問題に対する大胆な見事な結果によってその基礎付けが最も重要な問題になりました。 Riemannの学位論文の一つは、この任意関数の三角級数の表現可能性、この論文の中でRiemannは積分を定義して積分可能条件を与えた。 この論文の穴埋め、また発展が解析学の主流になっていく。この過程で Cantorの集合論が強力な道具として誕生し、最終的にLebesgueの積分論の誕生で一連の問題が解決されるのである。 このような歴史的な背景を数学工房で取り扱う、解析の諸講座のバックグランドとして興味深いトピックスを通じて取り上げることにします。 2016年度はFourier解析を系統的に取り上げますので、その補いも兼ねての講座です。
項目
  1. 絃の振動をめぐって d'Alembert、Euler、Bernoulli
  2. Fourierの熱伝道の方程式の解法
  3. Riemannの積分
  4. 理性に反する函数(実解析学の黎明)そしてLebesgueへ
日時   4月30日(土) 14:00−18:00、
  5月1日(日) 11:00−16:00
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講座名 再生核Hilbert空間への入門
内容 〔2016/4/20更新〕 核関数は複素解析の研究手段として領域で2乗可積分な正則関数の空間に導入されました。 その後、複素解析の立場から集中的に研究され領域の幾何学的研究にも有用であることはよく知られています。
  しかし一方、1950年に出版されたアロザシンの論文で一応の完成をみた再生核の一般論はとても美しい理論であるが、 それ自体で、閉じた小世界を作っていて、あまり発展性のあるものとは思われていなかったようです。 この方面に、一般の集合からのHilbert空間値写像から自然に生成される核型Hilbert空間の存在という 新しい視点を与え豊かな応用を持つ最近の発展の礎を気付いたのは斎藤三郎先生で、その考え方をベースにした再生核理論入門です。 ただしHilbert空間とその上の有界作用素については、補正を要する点のみを述べることにします。
  基本的には初級の抽象線型代数でやったことから類推が利くと思います。無論ここで扱うのは、ごく入口にすぎません。 特にRieszの表現定理の強力さを味わってください。
項目
  1. 記号、概念、Hilbert空間についてのいくつかの注意
  2. 核を持つHilbert空間の一般論から
  3. Hilbert空間の双対に値をとる写像から導かれる核型Hilbert空間
  4. 2次正定符号函数と再生核
日時   5月3日(火・祝) 14:00−18:00、
  5月4日(水・祝) 11:00−16:00
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 2015年度 春学期講座
入門
IA 解析教程
Fourier級数序論
IB 複素関数論
大域的Cauchy理論
ID 初等線型代数と微積分
多変数の高階微分、Taylor公式、極値
IG 確率論の数学概論III
多変量の分布の数学的構造
初級
EA 抽象位相III
G 抽象線型代数III
内積空間の幾何学、基本的作用素のクラス
初級・中級
IC 形式冪級数をめぐって
Weierstrassの準備定理
MA 函数解析概論II
函数解析の展開される場I
中級
MB Fredholm作用素とCalkin環

〔講座について〕
  • 今学期は新規開講講座はありませんが、MAは毎学期取り扱うテーマが独立なので中途参加可能です。 入門および初級講座は、ご希望の方の素養によっては中途からの参加も可能です。
〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000(学割 ¥25,000)〕。
  • 各回払いの場合は、以下の通りです:
    • 全3回講座では、第1回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第2回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第3回目¥10,000(学割 ¥9,000)です。
    • 全4回講座では、第1回目¥10,000(学割 ¥9,000)、第2回目以降¥8,000/回(学割 ¥6,000/回)です。
    • 全6回講座では、第1回目¥6,500(学割 ¥6,000)、第2回目以降¥5,500/回(学割 ¥4,000/回)です。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 解析教程
Fourier級数序論
レベル 入門
内容   Fourier解析を中心に交差する数学の世界は、実り豊かで眺めるだけでも楽しいものです。 T.W.ケルナーの「フーリエ解析大全」やジグムントの大著「Trigonometric Series(三角級数)」を拾い読みすると、実に面白いことがいっぱい書いてあります。
  普段の数学工房では、どちらかというと体系的な取り扱いを強調していますが、 今回は解析教程の続編として、いつもと違うスタンスでFourier級数の性質の正当化を起源とするに現代的な解析学の定理や理論の故郷を訪ねます。
項目
  1. 記号、概念
  2. Dirichlet核、Fejér核
  3. Fejérの定理と幾つかの帰結
  4. Weylの一様分布
  5. 単純収束定理
  6. トピックス
日付 隔週日曜日・全6回
  1/24、 2/7、 2/21、 3/6、 3/20、 4/3
時間   11:00−13:00
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講座名 IB. 複素関数論
大域的Cauchy理論
レベル 入門
内容   秋学期は複素平面上の微分形式の一般論を扱い原始関数の存在定理、道に沿った積分を論じました。 今学期は、複素対数関数、複素正則関数から始まり、ホモトピー、大域的Cauchy理論へと進みます。
項目
  1. 複素対数
    1. 複素対数関数、複素n乗根
    2. 正則対数関数
    3. 正則n乗根
  2. ホモトピー
  3. 正則関数のCauchy理論
    1. Cauchyの定理
    2. Cauchyの積分公式
    3. Cauchy、Taylorの表現定理
    4. 連続定理、一致の定理
日付 隔週土曜日・全3回
  3/5、 3/19、 4/2
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. 形式冪級数をめぐって
Weierstrassの準備定理
レベル 初級・中級
内容   秋学期に可換環上の形式冪級数環とイデアルの構造を論じました。 今回は、多変数関数論の局所理論で重要なWeierstrassの準備定理をとりあげます。 この定理は一般に解析局所環にまで一般準備定理として拡張されることが知られています。可換環のトピックスとして面白そうですが、この方面について私は知識がありません。
項目
  1. 冪級数の多重添え字の扱い
  2. 形式冪級数環の完備性
  3. 不動点定理
  4. Weierstrassの準備定理
  5. トピックス
日付 隔週日曜日・全3回
  1/24、 2/7、 2/21
時間   14:00−18:00
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講座名 ID. 初等線型代数と微積分
多変数の高階微分、Taylor公式、極値
レベル 入門
内容   実変数の多変数関数の高階微分と平均値定理、グラージェント、ヘッセ行列、ラプラシアン、そして多変数のTaylor公式、極値の分類などを座標フリーの方法で明確に扱います。 昔から今に至るまで、困ったことに、学部段階での多変数解析の基礎教育は不十分で、多変数の微分法や積の意味、役割を知らないまま、応用解析諸分野はもとより 純粋数学の専門諸分野、例えば多変数関数論や種々のクラスの多様体を その準備不足のぜい弱な基盤のままで学ぶと言う不合理が一向に解消されていないようです。 この講座はそのようなねじれの解消に幾分でも役立つ事を願って作られています。多変数の微分法の知識をリフレッシュしたい方にお勧めです。 Euclid空間の線型代数と1変数微積分のある程度の素養があれば参加できます。
項目
  1. r回連続微分可能な関数のクラス
  2. グラージェント、ダイバージェンス、Hesse行列、ラプラシアン
  3. 高階微分とテンソル表示
  4. 剰余付きTaylor公式
  5. 極値と極値の分類
日付 隔週日曜日・全6回
  1/17、 1/31、 2/14、 2/28、 3/13、 3/27
時間   11:00−13:00
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講座名 IG. 確率論の数学概論III
多変量の分布の数学的構造
レベル 入門
内容   秋学期は分布の理論的構造と1次元期待値積分を中心に解説しました。今回は多次元の分布と期待値積分を解説します。 厳密な証明よりも数学的仕組みの把握に重点を置くID方式の講座です。
  ある程度分布の基礎理論を御存じの方で多変数の場合の数学的仕組みを知りたい方は中途参加可能です。
項目
  1. n次元確率分布
  2. 同時分布関数
  3. 変数変換
  4. 確率変数の独立
  5. 多次元Riemann-Stieltjes積分
  6. 期待値積分
日付 隔週土曜日・全3回
  1/23、 2/6、 2/20
時間   14:00−18:00
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講座名 EA. 抽象位相III レベル 初級
内容   夏学期、秋学期と主に函数空間の研究で重要なトポロジーの基礎概念を取り扱いました。 その応用として函数解析の根幹である、写像空間のいくつかの位相と、さらに補充として 具体的な関数空間の取り扱いの基礎になる正規空間上の連続関数の存在定理とパラコンパクト空間を取り上げます。
項目
  1. 関数の空間の各点収束位相と一様収束位相
    1. 写像空間の単純収束位相とコンパクト、形式冪級数の空間
    2. 連続関数空間の一様収束位相、Ck級関数の空間、正則関数の空間、急減少関数の空間
    3. コンパクトな台を持つ連続関数の空間
  2. 正規空間と連続関数
    1. 正規空間、Urysohnの定理、Tietzeの拡張
    2. 局所有限被覆に関する単位の分解
    3. パラコンパクト空間
日付 隔週日曜日・全3回
  2/28、 3/13、 3/27
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数III
内積空間の幾何学、基本的作用素のクラス
レベル 初級
内容   一般位相と並んで最も基本的かつ重要な型げいことしてこの講座は設けられていますが、 同時にこの辺の内容は応用上も極めて有用な部分です。また将来、函数解析、特に作用素の一般論を勉強される方は、 このあたりの事を知っておいたほうがよいでしょう。
  前半は内積空間の幾何学:直交性、正射影定理から始まり、直交化、線形形式とその応用まで。 後半は作用素のクラス。純粋応用を問わず、いたるところに現れる基本的な作用素の一般論です。
  2次形式のより詳しい理論や特異値、特異ベクトル等は集中セミナーで取り上げる予定です。
項目
  1. 内積空間の幾何学I
  2. 内積空間の幾何学II 線型形式の表現定理
  3. 基本的な作用素のクラス
  4. 対称変換とスペクトル
日付 隔週日曜日・全3回
  1/17、 1/31、 2/14
時間   14:00−18:00
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講座名 MA. 函数解析概論II
函数解析の展開される場I
レベル 初級・中級
内容   函数解析が展開される場、関数空間や作用素の展開される場の記述の基礎として必要事項のまとめです。 事柄が多岐にわたるので公式や定理の意味、構造を明確に描写するように努めますが、証明は省略することがあります。
項目
  1. 位相線型空間の一般論から
  2. 局所凸線型空間
  3. 双対空間とHahn-Banachの定理
  4. ノルム空間、Banach空間
  5. 各点収束位相、一様収束位相、級数
日付 隔週日曜日・全3回
  3/6、 3/20、 4/3
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. Fredholm作用素とCalkin環 レベル 中級
内容   Hilbert空間の作用素の概略の最終回です。無論作用素論そのものを勉強されるなら、この講座で扱ったことはほんの入口にすぎません。 作用素環の勉強のための補充としてこのぐらいで満足しましょう。
項目
  1. Calkin環
  2. Fredholm作用素の定義と基本的な性質
  3. Fredholm作用素の特徴付け
  4. 指数(Index)の理論
  5. Fredholm作用素の空間の連結成分
  6. Weyl、von Neumann、Haag の定理
日付 隔週土曜日・全3回
  1/30、 2/13、 2/27
時間   14:00−18:00
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 2015年度 冬期集中セミナー
一覧
数学の基本語彙と文法III 12月26日(土)
27日(日)
解析学と代数特論 1月9日(土)
10日(日)
Banach環 原始環・半単純環 1月11日(月・祝)
16日(土)
新年の懇親会 1月11日(月・祝)

※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。

 
〔料金について〕
  • 2日間の集中講座は¥18,000(学割¥15,000)です。1日のみご参加の場合は¥10,000(学割¥8,000)です。

 
講座名 数学の基本語彙と文法III
内容   秋学期の「数学の基本語彙と文法II」では、ZornのLemmaと選択公理、集合の濃度、フィルタ等を取り扱いました。 現代数学の基礎素養として、今回は、現代数学の対象の最も原理的かつ強力な構成手段である同値関係と、同値関係より生じるコセットをテーマにします。 この部分は数学の学習にとっての鬼門として定評のある部分です。この辺りで挫折をした経験のある方が少なからずいると思います。
  同値関係による不変性や準同型、準同型定理等かなり掘り下げた内容まで扱う予定です。 応用として、群の剰余類の空間(軌道空間)と準同型定理、線型空間の商空間等を扱います。
項目
  1. 同値関係と集合の分割
  2. 群構造に整合する同値関係
  3. 群の作用と軌道空間
  4. 商空間
日時   12月26日(土) 14:00−18:00、
  12月27日(日) 11:00−16:00
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講座名 解析学と代数特論
内容   前々から取り上げようと思っていて延び延びになっていたテーマです。解析数論からのテーマは、解析学、代数、幾何学の総合演習として、 数学の技量と感覚の向上に有益であること、そして内容そのものが面白く、問題が分かりやすい事、分けてもこのテーマは各種のζの先駆けとなった点でも面白い。 先ずはDirichletの算術級数上の素数分布から始まります。
  今回の内容は2010年頃に行った Siegelの「Analytische Zahlentheorie(解析数論)を読む」をもとにしています。 続編としてL函数と一般Bernoulli数、L函数と特殊値、概均質空間上のZeta函数等を考えています。
項目 L函数 I
  1. Introduction 素数が無限個ある事(EuclidとEulerの証明)
  2. 算術級数上の素数分布 特別な場合
  3. L函数
  4. 有限Abel群と指標空間
  5. 算術級数上の素数分布
続編として、L函数と一般Bernoulli数、L函数と特殊値、概均質空間上のZeta函数等を考えています。
日時   1月9日(土) 14:00−18:00、
  1月10日(日) 11:00−16:00
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講座名 Banach環 原始環・半単純環
内容   原始環は忠実な既約表現が存在する環です。したがって線型作用素の既約環の研究に帰着します。
Radicalが{0}のみからなる環を半単純という。最後は半単純環が原始環の部分直和になる、という基本定理が示されます。 この部分は将来見取り図として膨大な知識の整理に役立つでしょう。
  原始イデアルや極大両側イデアルのつくる構造空間(可換環の素イデアル空間、極大イデアル空間の一般化)のHull-kernel位相に続く。
項目
  1. 前回までの要約
  2. Radical
  3. 原始Banach環
  4. 極小イデアルを持つ原始Banach環
    1. 双対と随伴
    2. 片側極小イデアルをもつ原始Banach環の表現定理
  5. 半単純Banach環の構造
日時   1月11日(月・祝) 13:00−17:00、
  1月16日(土) 14:00−18:00
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講座名 新年の懇親会
内容 〔2016/1/4現在〕今回は、趣を変えて数学工房の近くのスペインバル リサリサで開く予定です。 スペイン名物の雰囲気を味わいながら数学談義をお楽しみください。
  会費¥4000です。アルコールは一応御用意しますが、余分に飲みたい方は自前になりますのでよろしくお願いします。
 
  会場:スペインバル リサリサ(Spain Bal Risa Risa)〔住所:豊島区駒込1-3-4 モンテベルテ六義園 1F、Tel:03-5976-3361〕
日時   1月11日(月・祝) 18:00−
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 2015年度 秋学期講座
入門
IA 解析教程
ID 初等線型代数と微積分
IF 数学の基本語彙と文法II
IG 確率論の数学概論
入門・初級
IC 形式冪級数環をめぐってII
初級
EA 抽象位相(アドヴァンスト コース)
G 抽象線型代数II(線型写像、写像の空間)
中級入門
IB 複素関数論II
中級
MA 函数解析概論I
MB コンパクト作用素II

〔講座について〕
  • 今学期の新規開講講座は、IF、MA のみですが、入門および初級講座は、ご希望の方の素養によっては中途からの参加も可能です。
〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000(学割 ¥25,000)〕。
  • 各回払いの場合は、以下の通りです:
    • 全3回講座では、第1回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第2回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第3回目¥10,000(学割 ¥9,000)です。
    • 全4回講座では、第1回目¥10,000(学割 ¥9,000)、第2回目以降¥8,000/回(学割 ¥6,000/回)です。
    • 全6回講座では、第1回目¥6,500(学割 ¥6,000)、第2回目以降¥5,500/回(学割 ¥4,000/回)です。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 解析教程 レベル 入門
内容   解析学は大まかに18世紀までの流れをくむものと、19世紀以降に発達したものとに分けられる。 前者は古典解析、後者は実解析と呼ばれる。通常、理工系大学の基礎教程で学ぶおなじみの実際的な解析の教程が古典解析である。 今回は古典解析の内容、初等超越関数、定数係数の微分方程式を前学期までの現代的な基礎に立って取り扱う。
 
  Fourier級数へ続く
項目
  1. 実解析関数、初等関数
    1. 一般論
    2. 初等超越関数
    3. 定数係数の微分方程式
  2. トピックス
日付 日曜日・全6回
  9/20、 10/4、 10/18、 11/8、 11/22、 12/6
時間   11:00−13:00
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講座名 IB. 複素関数論II レベル 中級入門
内容   複素解析の現代的な応用を目指しRiemann面を視野に入れた複素関数論の基礎コースです。 函数解析概論同様、一定の段階に達するまでは急がず丁寧に進んでいきます。IA、ID、G、EAまでの基礎知識はある程度の習熟を前提にします。 念頭に置いているのはH.Cartanのエレガントな教科書「複素函数論(高橋礼司訳、岩波書店)」+αです。
項目
  1. 微分形式
    1. 微分形式の積分
    2. 微分形式の原始関数
    3. Green-Riemannの公式
    4. 閉微分形式
    5. 道に沿った原始関数
    6. ホモトピー
  2. 正則関数のCauchy理論
    1. Cauchyの定理
    2. Cauchyの積分公式
    3. Cauchy、Taylorの表現定理
    4. 連続定理、一致の定理
日付 隔週土曜日・全3回
  11/14、 11/28、 12/12
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. 形式冪級数環をめぐってII レベル 入門・初級
内容   様々な領域に広い応用を持つ、形式冪級数環を扱う代数のアドバンストコースです。夏学期は、体K上の一変数形式冪級数の取り扱いを詳しく説明しました。 今回は数学的には必ずしも前回の内容は必要としません。基礎から始めます。直接的な素養としては、抽象線型代数と可換環の理論へのある程度の習熟が期待されます。
  今学期のねらいは2つあって、第1は、体K上の1変数形式冪級数では現れない様々な可換環のイデアルの典型を見ること。(可換代数の補充) 第2に多変数形式冪級数環の理論への準備として。参考書はAtiyah、Macdonaldの本「Introduction to Commutative Algebra」、1・2章 程度で十分です。
項目
  1. 可換環上の冪級数環
  2. 可換環のイデアル概論
  3. 可換環上の冪級数環の構造
  4. 多変数形式冪級数環
日付 隔週日曜日・全3回
  11/15、 11/29、 12/13
時間   14:00−18:00
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講座名 ID. 初等線型代数と微積分 レベル 入門
内容   今学期はいよいよベクトル解析の概略に入ります。解析学や幾何学等のアドヴァンストコースに進む際の直感の基礎として、 また線型代数の解析学の基礎における役割の理解に極めて有用です。グラジュエートのレベルに行く前に本来は必ずやっておくべき内容です。
項目
  1. 連続写像、ベクトル場
  2. 領域上の積分
  3. 線型代数からの補充
  4. 写像の微分とJacobi行列、積分の変数変換
  5. 基礎積分の計算
日付 日曜日・全6回
  9/27、 10/11、 10/25、 11/15、 11/29、 12/13
時間   11:00−13:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法II レベル 入門
内容   全ての現代数学の基礎である、Zornの補題の定式化と用法、それを基礎にして選択公理を扱います。 トピックスとしては、集合の濃度の理論の基礎を扱う予定です。 無論この講座の趣旨は,各数学の分野の展開に当たって必要な基礎素養としての立場で、基礎論や集合論には深入りはしません。
  無論、本講座はEA、MAに密接に関連します。
項目
  1. Zornの補題の定式化と用法
  2. 選択公理
    1. 直積集合
    2. 選択公理の導出
    3. 選択公理から導かれる基礎原理
  3. トピックス
日付 隔週土曜日・全3回
  9/19、 10/3、 10/17
時間   14:00−18:00
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講座名 IG. 確率論の数学概論 レベル 入門
内容   夏学期では、偶然をいかにして数学化するかというテーマに沿って、σ代数、測度、ランダムバリアブルと分布関数、密度関数を導入しました。 今回は最初に、復習を兼ねて前回取り扱った基礎概念の再定式化から始めます。また測度の積分の意味をはっきりさせます。 とりわけ、分布の意味を論理的に明確につかみましょう。その準備のもとに再び前回と同様の方針に戻って、分布の期待値、分散、モーメント等 確率論の数学の仕組みを半ば直感的に追跡していく予定です。
項目
  1. 確率事象のσ代数、可測写像再論
  2. 確率変数の積分、期待値、分散、モーメント
  3. 多変数の分布と分布関数
  4. 確率変数の独立
  5. 期待値積分
日付 隔週土曜日・全3回
  11/7、 11/21、 12/5
時間   14:00−18:00
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講座名 EA. 抽象位相(アドヴァンスト コース) レベル 初級
内容   フィルタ、ネット、射影位相、帰納位相など、現代数学の展開に必要不可欠な道具を学びます。 一般位相にある程度熟達した方で、このトピックスに興味のある方にもお勧めです。
関連する講座として、今学期からMA 函数解析概論 が始まります。
項目
  1. フィルタ
    1. フィルタの一般論(復習)
    2. フィルタによる位相の記述
  2. ネット
    1. ネットの概念、フィルタとの関係
    2. ネットによる位相の記述
  3. 射影位相、帰納位相
    1. 始位相、終位相
    2. 射影位相
    3. 帰納位相
    4. 直積位相
日付 隔週日曜日・全3回
  9/20、 10/4、 10/18
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数II(線型写像、写像の空間) レベル 初級
項目
  1. 線型写像の定義と基本的性質
  2. 線型写像の空間と応用
  3. 線型形式と双対空間、アジョイント
  4. 行列表現
  5. 線型変換と線型変換の代数、最小多項式
  6. 射影
日付 隔週土曜日・全3回
  9/26、 10/10、 10/24
時間   14:00−18:00
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講座名 MA. 函数解析概論I レベル 中級
内容   現代解析学の諸分野を本格的に勉強するにあたっての、基礎数学の素養を養うことを目的にしています。 IA、ID、G、EA等のアドヴァンストレベルの基礎数学講座です。もとより、その範囲は広大で系統的に満足に身につけることは容易ではありません。 数学にだけのことではないと思いますが、高度に技術的な事を学ぶ骨は、基本的な部分を、理論を自分で構成できる程度に、概念を操作できるように、しっかりと身につけることです。 そうすると、先に行くと見通しがきくようになり、結果だけを見ても意味や位置づけができるようになります。これが意外にできている人が少ないのです!  是非とも数学の学びの骨を身につけてほしいものです。実際、この講座では基礎の仕組みに十分に時間をかけた後は、結果と概念の構成その役割の説明のみをすることになります。 例えば、今学期の目次にあげられている項目については、細部まで手ほどきする予定です。ここまで来ると、多くの結果は証明なしでも理解できるようになるでしょう。
 
  次学期は、位相線型空間、Banach空間、Hilbert空間、Lp空間等の必須事項を取り扱います。講座IA、ID、G、EA(距離空間と関数解析序説)程度の素養を期待します。
項目
  1. σ代数と測度、外測度
  2. 可測空間、可測写像
  3. 可測関数の積分
  4. 完備化と直積測度空間
  5. Lp
  6. Radon測度
日付 隔週日曜日・全3回
  11/8、 11/22、 12/6
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. コンパクト作用素II レベル 中級
項目
  1. コンパクト作用素の基本的な性質
  2. 正値作用素に対するトレースとSchatten p-norm
  3. Schatten p-classのLp理論
  4. 重要な例
  5. Hilbert空間のテンソル積
日付 隔週日曜日・全3回
  9/27、 10/11、 10/25
時間   14:00−18:00
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 2015年度 夏期集中セミナー
一覧
Advanced Linear Algebra
2次形式、特異値、特異ベクトル、線型写像の展開
8月22日(土)
23日(日)
体積形式・交代形式・行列式、符号の基礎付け 8月29日(土)
30日(日)
Bernoulli多項式、Euler-Maclaurin展開、Riemann Zeta 9月5日(土)
6日(日)
多元環の表現II 9月12日(土)
13日(日)
Stone-Weierstrassの定理とBishopの定理 9月21日(月・祝)

※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。

 
〔料金について〕
  • 2日間の集中講座は¥18,000(学割¥15,000)、1日の集中講座は¥10,000(学割¥8,000)です。

 
講座名 Advanced Linear Algebra
2次形式、特異値、特異ベクトル、線型写像の展開
内容   抽象線型代数通年コースを終えられた方向けの総合演習です。理論の美しさを味わいながら、数学の作り方を学んでください。
  線型写像の特異値展開はSchatten形式によるコンパクト作用素の展開の特別なもので、起源はWeylによる積分作用素の近似です。 本来解析起源の故か、線型代数としての内在的理論として満足できる水準のこの題材についての教科書は私の知る限りでは見当たりません。 そこで、このテーマの応用上の重要さと将来の作用素論への準備として取り上げることにしました。 尚この理論のまとめに当たっては、数学工房の研究会での議論が少なからず寄与していることを申し添えておきます。
項目
  1. Adjointのまとめ
  2. 対称変換、正射影、2次形式の基本定理
  3. 特異値、特異ベクトル、展開定理
  4. いくつかの応用(一般化逆、特異値分解 等)
日時   8月22日(土) 14:00−18:00、
  8月23日(日) 11:00−16:00
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講座名 体積形式・交代形式・行列式、符号の基礎付け
内容   計量から本質的に一意に定まる有向体積の幾何学の基礎を取り扱います。この考えは、Riemann計量を持つ多様体の局所構造の幾何そのものといってよいでしょう。 ここから行列式、Gram行列式の持っている役割の重要さが理解できるでしょう。
  例年、秋学期の通常講座の前半2回を充当する予定で始めるのですが、その結果解析的な部分が駆け足になるきらいがありました。 そこでこの部分を独立させて、またそれ自体の重要さを考慮して内容を充実させました。
  現在IDを受講されている方は無論ですが、復習を兼ねて数学を深めるのに最適の材料です。
項目
  1. 平行2n面体の有向体積と体積形式
  2. 群の言葉から
  3. n次交代形式
  4. 線型変換の行列式
  5. 符号再論
日時   8月29日(土) 14:00−18:00、
  8月30日(日) 11:00−16:00
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講座名 Bernoulli多項式、Euler-Maclaurin展開、Riemann Zeta
内容   4月に続いてBernoulli数、Bernoulli多項式をめぐる美しく神秘的なトピックスを取り上げます。 手を動かしながら、数論的古典解析を楽しみましょう。
項目
  1. べき乗和、Bernoulli数、Bernoulli多項式
  2. Euler-Maclaurinの公式
  3. Riemann-Zetaの評価への応用
日時   9月5日(土) 14:00−18:00、
  9月6日(日) 11:00−16:00
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講座名 多元環の表現II
内容   前回の集中では非可換多元環の構造を取り扱いました。今回はその結果を踏まえて、 非可換多元環の表現の基礎を丁寧に取り扱います。
  非可換環の表現が問題なので、当然可換の場合に比べると概念が細文化され複雑になります。 将来ご自分で使えるように、あわてずに概念をしっかり理解してください。 可換の場合は退化して比較的なじみのある概念になります。 例えば根基の概念は可換環ならJacobson radicalにほかなりません。比較しつつ整理するとよいでしょう。
項目
  1. 多元環のイデアルのまとめ
  2. 多元環の表現の基礎概念
    1. 表現の定義
    2. 多元環の右正則表現
    3. 普遍性、既約性、サイクリック
    4. 表現の縮小と還元
    5. 左正則表現の縮小
    6. 左正則表現の還元
    7. 表現の同値
    8. 表現の正則表現への帰着
    9. 左イデアルによる正則空間と商イデアル
    10. 原始イデアル
  3. 根基
    1. 根基の定義、根基環と半単純環
    2. 根基の基本的な性質
    3. Banach環の根基
    4. 強根基
日時   9月12日(土) 14:00−18:00、
  9月13日(日) 11:00−16:00
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講座名 Stone-Weierstrassの定理とBishopの定理
内容   Stone-Weierstrassの定理は、古典的なWeierstrassの多項式近似定理の拡張です。 この定理では、関数環が実関数環、または複素関数環の場合は自己随伴であるという条件が要ります。 この定理の複素関数環への拡張がBishopの定理です。
  時間があればKrein-Milmannの定理との関係も扱う予定である。
項目
  1. 測度論からの補充
    1. 複素測度
    2. Radon-Nikodymの定理
    3. Radon測度の理論から
    4. Riesz-Markov-Kakutaniの定理
  2. Bishopの定理とStone-Weierstrassの定理
  3. トピックス
日時   9月21日(月・祝) 11:00−17:00
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 2015年度 夏学期講座
入門
IA 解析教程IV
剰余付Taylor公式、関数列、関数項の級数
ID 初等線型代数と多次元の微積分
Euclid空間の幾何と線型代数
IF 数学の基本語彙と文法I
IG 確率論の数学概論
IDの立場から
初級
IB 複素解析
正則関数からRiemann面まで
IC 形式冪級数をめぐってI
EA 抽象位相 (アドヴァンストコース)
G 抽象線型代数I (線型空間論)
中級
MB Hilbert空間上の作用素III
コンパクト作用素

〔講座日程について〕(2015/07/01 更新)
  • 講座IA、ID、IGの開講日程(7月・8月分)に変更がございますので、ご確認ください。
〔講座について〕
  • 今学期の新規開講講座は、IA、MBを除く7講座です。ただし講座(特に基礎講座)の申し込み状況によっては、 講座が休止あるいは別講座に振替になることもあります。
〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000(学割 ¥25,000)〕。
  • 各回払いの場合は、以下の通りです:
    • 全3回講座では、第1回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第2回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第3回目¥10,000(学割 ¥9,000)です。
    • 全4回講座では、第1回目¥10,000(学割 ¥9,000)、第2回目以降¥8,000/回(学割 ¥6,000/回)です。
    • 全6回講座では、第1回目¥6,500(学割 ¥6,000)、第2回目以降¥5,500/回(学割 ¥4,000/回)です。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 解析教程IV
剰余付Taylor公式、関数列、関数項の級数
レベル 入門
内容 〔2015/6/1更新〕 今学期のテーマは関数項の級数の一般論です。 ここで、各点収束と一様収束という最も基本的な2つの収束のモードが導入されます。一様収束の導入の際にsup normが定義され、 一様収束はノルム収束として定義されます。さらにノルムCauchy列、ノルムに関する完備性、級数のノルム収束についての Cauchy判定等が論じられます。ここで、有界関数のBanach空間、閉区間上のCk級関数のBanach空間に初めて出会うのです。 各点収束とノルム収束の関係は、函数解析の展開において、土台になる部分です。
  次に前半の一般論を用いて、先ずは古典論の土台である収束冪級数の理論を展開します。 古典論に登場するすべての関数は、冪級数と線型微分方程式、積分によって制御されるのです。
項目
  1. 関数列・関数項の級数
    1. 関数列の収束概念
    2. 閉区間上のCk級関数のBanach空間
    3. 関数項の級数
    4. 冪級数
  2. 剰余付Taylor公式とその応用
    1. 積分の平均値定理
    2. 剰余付Taylor公式
    3. 若干の応用
日付 日曜日・全6回
  5/17、 5/31、 6/14、 6/28、 7/19、 8/2
時間   11:00−13:00
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講座名 IB. 複素解析
正則関数からRiemann面まで
レベル 初級
内容 〔2015/6/1更新〕 今回のシリーズは領域の正則関数の理論から始まり、Riemann面上の代数関数論へ至るのが目標です。 今学期は準備です。領域上の正則関数の概略から始めて、Global理論のカギになるCauchyの積分公式を復習します。 応用として局所理論を次の展開に備えて少し詳しくやります。この準備の後前層の一般論に入っていきます。
項目
  1. 正則関数の基礎理論
    1. 複素微分、正則性
    2. 領域上の正則関数、正則関数環
    3. 線積分と積分公式
    4. 局所理論
  2. PresheafとSheafの一般論
日付 変則日程・全3回
  7/19、 7/20、 8/2
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. 形式冪級数をめぐってI レベル 初級
内容 〔2015/6/22更新〕 代数系の入門講座をたびたび通常講座および集中セミナーで取り上げてきました。 そこで現れた諸概念や理論を総合的に理解し技量の向上と代数的思考を深めることを目的とする講座です。
項目
  1. K係数の形式冪級数環
    1. 数列空間のCauchy積
    2. 形式冪級数環の定義
    3. 位数、一般化された和
    4. 位数から導かれる距離(完備距離空間としての形式冪級数環)
    5. 代入
    6. 形式微分、逆関数定理
    7. 移動作用素と線型漸化式
    8. 写像空間のBorel積
    9. 定数係数の線型斉次微分方程式の解空間
日付 隔週日曜日・全3回
  6/28、 7/12、 7/26
時間   14:00−18:00
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講座名 ID. 初等線型代数と多次元の微積分
Euclid空間の幾何と線型代数
レベル 入門
内容 〔2015/6/1更新〕 夏学期は多次元空間のベクトル代数と内積から始まり、初等線型代数の若干の概念が導入されます。 そのあとで この空間の基礎図形の簡単な幾何を導入します。線分、直線、アフイン平面、平面凸図形、球等を扱います。 そしていよいよこの講座のポイントである初等線型写像が入ってきます。
  この続きで夏期集中セミナーでは計量から導かれる体積形式、行列、交代形式、行列式等の幾何学的理論を扱います。多変数解析理解の核心です。
項目
  1. Euclid空間の代数と幾何
    1. 数ベクトル空間
    2. 内積空間
    3. Euclid空間の初等幾何
    4. 線型代数の言葉から
    5. 行列と線型写像1
Euclid空間の体積形式、交代形式は、夏期集中セミナーの形で開講します。
日付 日曜日・全6回
  5/24、 6/7、 6/21、 7/12、 7/26、 8/1 (14:00-16:00)
時間   11:00−13:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法I レベル 入門
項目
  1. イントロダクション Σの用法と数学的帰納法
  2. 集合、集合族の算法
  3. 写像の定義と、像と原像の算法
  4. 写像の代数
  5. トピックス
II 無限の作法、III 同値関係と商空間 に続く。尚両講座は集中セミナーの形での開講を予定しています。
日付 隔週土曜日・全3回
  5/16、 5/30、 6/13
時間   14:00−18:00
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講座名 IG. 確率論の数学概論
IDの立場から
レベル 入門
内容 〔2015/5/25更新〕 ゆったりした教程で、確率論および数理統計の基本概念の数学的記述の根拠を理解してゆく。 今学期は現れないが離散的な期待値の性質を調べたのち、その性質を公理化したシンボリックな期待値積分を導入する。 これは実質的に確率測度の積分の公理論的定義である。
項目
  1. 確率論の記述の 数学的枠組み
    1. 標本空間と確率事象族(可測空間)
    2. 確率測度(確率空間と基礎モデル)
    3. 確率計算の基本ルール
    4. 事象の独立
  2. 確率変数と分布
    1. 確率変数(可測関数)
      1. 確率変数の代数
      2. 1次元確率変数と分布、分布関数
      3. 連続型確率変数
確率分布と分布の特性量に続く
日付 毎週土曜日・全3回
  7/11、 7/18、 7/25
時間   14:00−18:00
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講座名 EA. 抽象位相 (アドヴァンストコース) レベル 初級
内容 〔2015/6/1更新〕 距離空間と一般位相の基本知識は既知として、現代数学の道具としての一般位相概論を見る。 一般位相の基本事項を復習後、一つの集合上の位相全体が完備束になることが分かる。ここから様々な位相を生成し操る技術が生まれるのである。 それから、一般化された極限を扱う際に事に 有用なネット、フイルターを導入する。
項目
  1. 位相空間の一般論
    1. 基本概念
      1. 開集合系・閉集合系・近傍系
      2. 点のトポス、閉包、開核
      3. 連続写像、同相写像、位相同型
    2. 位相の比較と構造
      1. 位相の順序と生成
      2. 位相の基底、準基底
  2. フイルター
    1. フイルターの一般論
    2. フイルターによる位相の記述
  3. ネット
    1. 有向集合とネット
    2. ネットによる位相の記述
日付 隔週日曜日・全3回
  5/17、 5/31、 6/14
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数I (線型空間論) レベル 初級
内容 〔2015/5/16更新〕 より高度な数学を学びたい方は位相と並んで、抽象線型代数の基礎をしっかり身につけることをお勧めします。 抽象線型代数はもっとも基本的な現代数学の言語で、とりわけ解析学はしばしば数学の構造そのものが抽象線型代数の論理により規定されています。 しかるに存外学び難いものでもあります。意識が成熟してこないとなかなか本当の意味や射程がわかりません。それを通して現代数学の作法を学ぶのです。
項目
  1. 線型空間論 典型と表現
    1. 線型空間の定義と基本的な性質、典型的な線型空間
    2. 線型部分空間、線型部分空間の演算、生成される空間、直和
    3. 従属、独立、次元、基底
    4. 無限次元線型空間
日付 隔週土曜日・全3回
  5/23、 6/6、 6/20
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. Hilbert空間上の作用素III
コンパクト作用素
レベル 中級
内容 〔2015/5/16更新〕 Hilbert空間上の有界作用素環の有用なふるまいの良い両側イデアルは、 コンパクト作用素のイデアルのほかにはあまりないように見えます。ところが解像度を上げると、有限階作用素とコンパクト作用素のイデアルの間に 有用なイデアルが無数に存在するのです(位相の使い分けの面白さ!)。後半はこれらの興味深いイデアルの構造に入っていきます。
項目
  1. 準備
  2. コンパクト作用素の基本的性質
  3. Schatten form
  4. コンパクト作用素の展開定理
  5. 作用素イデアル とりわけSchatten Classについて
  6. 演習と補充
日付 隔週日曜日・全3回
  5/24、 6/7、 6/21
時間   14:00−18:00
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 2014年度 春期集中セミナー
一覧
凸関数 解析学演習 4月18日(土)
19日(日)
多元環の表現 Banach環の構造 4月25日(土)
26日(日)
2項係数、Bernoulli数(数学の自然への感覚) 4月29日(水・祝)
Quaternion Algebra 5月2日(土)
3日(日・祝)
実線型空間と複素線型空間 5月5日(火・祝)
6日(水・祝)

〔料金について〕
  • 2日間の集中講座は¥18,000(学割¥15,000)、1日の集中講座「2項係数、Bernoulli数(数学の自然への感覚)」は¥10,000(学割¥8,000)です。

 
講座名 凸関数 解析学演習
内容 〔2015/4/8更新〕 解析教程の補充として1実変数の凸関数の理論を扱います。とりわけ幾何学的凸性あるいはその一般化は、 もっとも興味深い数学解析の対象のクラスの一つであり多くの重要な原理を含んでいます。 また、微積分の基本定理に至る古典解析的な発想に対して、Cantorの集合論が本質的に有用な 実解析的な見方の有用さが分かる例が登場します。最後の練習問題は、有理点で微分不可能で無理点で微分可能な関数の構成です。 無論代数的数についても同様です。
項目
  1. 凸関数の定義と特徴付け
  2. 凸関数の滑らかさ
  3. 問題集
日時   4月18日(土) 14:00−18:00、
  4月19日(日) 11:00−16:00
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講座名 多元環の表現 Banach環の構造
内容 〔2015/4/16更新〕 函数解析の枠を超えて代数幾何学や、トポロジーに大きな影響を与えた Gelfand-Naimarkの定理、と作用素環に向けての準備として多元環のイデアルの構造と表現を扱う講座です。 比較的皆さんになじみがないのと、あまり手ごろな入門書がないので、概念の定義から丁寧に進めていきます。
項目
  1. イデアルと剰余環
    1. モジュラーイデアル
    2. 剰余環
    3. 極小イデアル
日時   4月25日(土) 14:00−18:00、
  4月26日(日) 11:00−16:00
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講座名 2項係数、Bernoulli数(数学の自然への感覚)
内容 〔2015/4/8更新〕 2項係数、Fibonacci数とかBernoulli数のような数は しばしば思わぬところに定数として出てきます。数学と親しい皆さんもきっとそういう体験をされたことがありますね?なぜでしょうか? 問題の原点に返って自然な定式化をしてみましょう。線型代数の枠組みで見ると、Bernoulli数とはある重要な作用素の自然な基底に対する展開係数であることが分かります。 これは興味深い関数空間とその上の作用素の特性量の数論という風景の原点に見えます。
項目
  1. イントロダクション(歴史的な問題)
  2. Bernoulliの着想(自然な定数としてのBernoulli数)
  3. 線型代数の力
日時   4月29日(水・祝) 11:00−16:00
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講座名 Quaternion Algebra
内容 〔2015/4/8更新〕 実数、複素数と進むノルム体の系列で最初に現れる 重要で面白いノルム非可換体です。それ自体への興味もさることながら、言うまでもなく、外積代数や多元環の表現論という豊かな数学的対象の諸分野の起源です。 Banach環のイデアルの構造と表現定理を系統的に取り上げるにあたって、その準備を兼ねてセミナー化してみました。 Springerの「数」(Ebbinghaus [ほか] 著)は良い参考書です。
項目
  1. イントロダクション
  2. 行列表現
  3. Imaginary Space
  4. Quaternion Product, Vector Product, Scalar Product
  5. Hの非可換
  6. 四元数の乗法とベクトル解析
日時   5月2日(土) 14:00−18:00、
  5月3日(日・祝) 11:00−16:00
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講座名 実線型空間と複素線型空間
内容 〔2015/4/8更新〕 複素と実構造の関係は、複素多様体の複素構造などを問題にするまでは あまり体系的に扱われることはないと思います。学部段階の複素関数論や線型代数は、根拠不明のままやみくもに便利という理由のみで 複素数体上で展開されているわけです。
  実行列を複素行列として見るということは何をやることなのか? もっと高級な話になると、Cnの内の曲面の複素関数論や 複素型のHahn-Banachの幾何学的な意味は、実の場合とどう関係しているのか? こういうことを構造的に理解することの基礎を取り扱います。
項目
  1. 複素線型空間の実構造
    1. n次元線型空間の実部と虚部
    2. 標準分解の計算規則
    3. 複素線型空間の実線型部分空間
  2. 複素線型空間の実線型変換
    1. 実タイプの変換
    2. 実変換の複素拡張
日時   5月5日(火・祝) 14:00−18:00、
  5月6日(水・祝) 11:00−16:00
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 2014年度 春学期講座
入門
IA 解析教程III
ID 初等線型代数と多次元空間の微積分III
IF 数学の基本語彙と文法 【随時開講】
初級
EA 距離空間と解析学序説III
BaireのCategory定理とその応用
G 抽象線型代数III
内積空間の幾何と作用素のクラス
初級・中級
IB 多変数関数論
(擬凸領域)
IC Modules(加群のテンソル積)
中級
IE 位相線型空間概論(核型空間)
IS 代数関数論
MB Hilbert空間の作用素
(スペクトルII)

  2015年会費(1月〜12月) ¥3,000(学生 ¥1,500)のご納入をお願いします(会費は据え置きました)。
  ※講座に参加されるには年会費のお支払いが必要です。講座受講料と一緒にお支払いが便利です。

 
〔講座について〕
  • 講座IF「数学の基本語彙と文法」は、随時開講です。
〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000(学割 ¥25,000)〕。
  • 各回払いの場合は、以下の通りです:
    • 全3回講座では、第1回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第2回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第3回目¥10,000(学割 ¥9,000)です。
    • 全4回講座では、第1回目¥10,000(学割 ¥9,000)、第2回目以降¥8,000/回(学割 ¥6,000/回)です。
    • 全6回講座では、第1回目¥6,500(学割 ¥6,000)、第2回目以降¥5,500/回(学割 ¥4,000/回)です。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 解析教程III レベル 入門
内容 〔2015/1/6更新〕 解析教程はいよいよ佳境に入ります。前回は連続性から始めて、 Cauchyの微分の平均値定理まで、 さらに補充として、多項式と多項式関数の関係、導関数と微分等の関係を一般的に扱いました。
  今回は、Riemann積分から始まり、連続関数や可微分関数の級数の一般論を扱います。
項目
  1. Riemann積分、微積分の基本定理
    1. 有界関数の積分
    2. 微積分の基本定理
  2. 関数列、関数項の級数(一般論)
    1. 関数列・関数項の級数 点ごとの収束
    2. 関数列・関数項の級数 一様収束
  3. 連続関数列、可微分関数列
日付 隔週日曜日・全6回
  1/25、 2/8、 2/22、 3/8、 3/22、 4/5
時間   11:00−13:00
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講座名 IB. 多変数関数論
(擬凸領域)
レベル 初級・中級
内容 〔2015/3/17更新〕 正則領域とはその領域からいかなる意味でも有理型関数としてさえも拡張できない領域で、 一変数複素関数論なら任意の領域が正則です(Weierstrassの定理)。 ところがHartogsが多変数ではすべての正則関数がより大きい領域に接続できる領域が存在することを示しました。 そこで正則領域の特徴付けが問題になったのです。 結局見出されたすべての特徴付けが同値だとわかりました(Oka-Bremermann-Norgeの定理)。 後にHörmanderは代数的な方法に変えて、函数解析的な方法で、非斉次Cauchy-Riemann方程式が G-擬凸領域上で解をもつことを利用してこの問題を解き、解析的なアプローチに道を開きました。
  今回は函数解析的な存在定理は引用にとどめ概略のみにとどめます。2013年夏学期からの多変数複素解析のシリーズの最後です。 来る2015年夏学期のIBは、1変数関数論かFourier解析を考えています。
項目
  1. 4つの擬凸概念
  2. Levi問題
    1. G-擬凸
    2. Rungeの定理
    3. Leviの問題、Oka-Bremermann-Norgeの定理
日付 毎週土曜日・全3回
  3/21、 3/28、 4/4
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. Modules(加群のテンソル積) レベル 初級・中級
内容 〔2015/1/6更新〕 Atiyah、Macdonaldの本「Introduction to Commutative Algebra」第2章後半に沿っての概説です。 加群のテンソル積 が中心です。
項目
  1. 加群のテンソル積
  2. スカラーの制限と拡張
  3. テンソル積の完全列
  4. テンソル積の有向極限
日付 隔週日曜日・全3回
  1/25、 2/8、 2/22
時間   14:00−18:00
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講座名 ID. 初等線型代数と多次元空間の微積分III レベル 入門
内容 〔2015/1/16更新〕 多変数の微分法の基礎を原則として座標フリーの立場で扱います。多様体の前段とお考えください。
項目
  1. C1級関数のクラスとグラージェント
  2. C2級関数のクラスとHesse行列、Laplacian
  3. C2級Taylor公式と極値
  4. 高階微分とCk級クラス
日付 隔週日曜日・全6回
  1/18、 2/1、 2/15、 3/1、 3/15、 3/29
時間   11:00−13:00
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講座名 IE. 位相線型空間概論(核型空間) レベル 中級
内容 〔2015/1/14更新〕 皆さんは不思議に思われたことはありませんか。なんで ユークリッド空間上の無限回微分可能な関数や急減少関数の空間の位相に整合するノルムがないのでしょう? 解析的に都合のいい関数空間になぜ無限次元Banach空間が現れないのか? 位相テンソル積の追求は、最後に関数解析学の最も自然な素朴な問題の一つにいきつくのです。
  Grothendiekの面目躍如の仕事のさわりの紹介です。(この意味で SchwartzによるSchwartz超関数の空間の発見は、 微積にとって良い型の関数空間の極北といえましょう。) 局所凸空間Eが核型空間とは、任意の局所凸空間Fとのテンソル積のε完備化とπ完備化が一致する著しい特徴をもった空間です。
項目
  1. 核型空間 定義と基本的な性質
  2. 核型空間の安定性
  3. 核型空間のMontel的性格(核型タイプ vs. Banachタイプ)
  4. トピックスまたは補充
日付 隔週土曜日・全3回
  1/17、 1/31、 2/14
時間   14:00−18:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法 【随時開講】 レベル 入門
内容 〔2015/1/6更新〕 どのような分野にせよ現代数学をやるつもりなら必ず初めに学ぶべき最小限の素養です。
項目
  1. Σとは何か? 改めて問う
  2. 集合の代数
  3. 写像
  4. トピックス
日付 【随時開講】
時間  
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講座名 IS. 代数関数論 レベル 中級
内容 〔2015/3/8更新〕 前回、一応Riemann-Rochの定理という 閉Riemann面上の微分の空間の定量的評価の美しい公式に達しました。 前回のソフイスケートされたWeil流微分概念に対して、今回は古典論の直接の拡張である、Hasseの微分から始めます。 そしてざっとRiemann-Rochの復習をして Weil微分との比較それからRiemann-Rochのいくつかの応用、特に微分の分類をやる予定です。
  2013年より始まった岩澤先生の代数関数論1、2章に沿ったシリーズは今回で一応の区切りをつけます。 関連するトピックスは機会があれば集中で取り上げる予定です。
項目
  1. Hasse微分
  2. Weilの微分概念との比較
  3. Riemann-Rochの応用
    1. 与えられた極を有するKの元(Weierstrassの定理)
    2. 微分の分類
日付 隔週日曜日・全3回
  3/8、 3/22、 4/5
時間   14:00−18:00
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講座名 EA. 距離空間と解析学序説III
BaireのCategory定理とその応用
レベル 初級
内容 〔2015/2/26更新〕 EAでは例年春学期はトピックスを取り上げています。今学期は、 関数空間の入門として、応用上も重要なBaireの定理と連続関数空間の標準的な位相を、 大多数の皆様にはあまりなじみがないと思われる、最も一般的な擬距離空間の枠組みで取り上げます。
  関数空間の位相を考えるときに、一番自然なのはネットの擬距離による収束です。擬距離は一様構造と同値なので、一様空間の入門にもなっています。 後半は細かい証明抜きに全体の状況を理解してもらいます。距離空間と位相にある程度習熟した方なら 理解に困難はないでしょう。最後は、存在問題で最も重要な連続関数空間のコンパクト性の特徴付けで終わります。
項目
  1. Baireのカテゴリー定理
    1. 第1類、第2類集合
    2. カテゴリー定理
    3. 応用例
    4. 一様有界性原理
  2. 連続関数空間の位相
    1. 擬距離と一様位相
    2. 完備性
    3. 全有界
    4. 連続関数空間の種々の位相と同程度連続性
日付 隔週日曜日・全3回
  3/1、 3/15、 3/29
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数III
内積空間の幾何と作用素のクラス
レベル 初級
内容 〔2015/1/16更新〕 函数解析や作用素論、多様体等 現代数学の基礎領域に進むのに必須の基礎知識・道具であるとともに現代数学の作法を学ぶコースです。 私の経験では大半の方が位相の基礎とともに、この部分が心もとないようです。特にDuality! いつも言うことですが、御自分で数学をやりたいならこの部分をしっかりしてください。 線型空間論および線型写像・変換の知識がある方は中途受講可能です。
項目
  1. 内積空間の幾何学
  2. 基本的な作用素のクラス
  3. 対称変換とスペクトル
日付 隔週日曜日・全3回
  1/18、 2/1、 2/15
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. Hilbert空間の作用素
(スペクトルII)
レベル 中級
内容 〔2015/1/27更新〕 全く一般のHilbert空間の正射影に値をとる可算加法的集合関数としてのスペクトル測度の一般論 から始めて、自己共役作用素とユニタリ作用素のスペクトル分解をどちらかというとBanach環論的な方法で扱います。 ここからはBorel測度やRadon測度を道具として使っていきますので、測度論からの補充として、抽象測度の概略は学んだことのある人向けに 複素測度の基本からコンパクトハウスドルフ空間上の連続関数環の 双対空間の表現定理までの明確な解説を付けました。
  数学工房初級程度の解析学、代数、一般位相、さらにHilbert空間とその上の作用素の基本的なこと、 スペクトル、スペクトル上のfunctional calculus 等の素養は必要です。それから、上で述べたように 測度論の極く基本的な部分はある程度の知識を期待します。
項目
  1. スペクトル測度とスペクトル積分
  2. 有界自己共役作用素のスペクトル分解
  3. ユニタリ作用素のスペクトル分解
  4. 測度論からの補充
    1. 複素測度
    2. Radon-Nikodymの定理
    3. Radon測度
    4. Riesz-Markov-Kakutaniの定理
日付 隔週土曜日・全3回
  2/7、 2/21、 3/7
時間   14:00−18:00
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 2014年度 冬期集中セミナー
入門
【お正月特別講座】
幾何学の楽しみ 数学のセンスを磨こう
1月4日(日)
入門・初級
可換環
Exact Sequences, Directed Limit
12月20日(土)
21日(日)
初級
有界作用素のスペクトルI 12月27日(土)
28日(日)
中級
核型写像の理論の展開 1月10日(土)
11日(日)
懇親会:
新年の懇親会 1月11日(日)

【2014/12/25更新】
  2015年会費(1月〜12月) ¥3,000(学生 ¥1,500)のご納入をお願いします(会費は据え置きました)。
  ※集中セミナーに参加されるには年会費のお支払いが必要です。セミナー受講料と一緒にお支払いが便利です。

 
〔講座について〕
  • 1月10・11日の集中セミナーのテーマを、都合により「狭義帰納極限・テスト関数空間、Schwartz超関数の空間」から 「核型写像の理論の展開」へと変更いたします。
〔料金について〕
  • 2日間の集中セミナーは¥18,000(学生¥15,000)、お正月特別講座は¥6,000です。
  • 「新年の懇親会」の会費は¥4500です。参加ご希望の方は、なるべくお早めにお申し込みください。

 
講座名 可換環
Exact Sequences, Directed Limit
レベル 入門・初級
内容   この集中セミナーは、主に次学期の加群のテンソル積の理論の準備を兼ねています。完全列と有向極限 の概念は様々なカテゴリーに現れる強力な道具ですので、習熟しておかれるとよいでしょう。 時間が許せば、最後にAtiyahのテクストの練習問題から何題かを御一緒に研究しましょう。
項目
  1. 完全列
  2. 有向極限
  3. 演習
日時   12月20日(土) 14:00−18:00、
  12月21日(日) 11:00−16:00
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講座名 有界作用素のスペクトルI レベル 初級
内容 〔2014/12/24更新〕 Hilbert空間およびその上の有界作用素について初歩的な知識がある方が対象になります。 例えば、完全正規直交系の存在、Rieszの表現定理、正射影定理etc、有界作用素とその随伴自己共役、 ユニタリ作用素などの概略。
  どちらかというとBanach代数的な方法によるモダンな立場からの取り扱いです。 それ自体でも、抽象線型代数の続編として学んでいただけますが、この講座は本来作用素環の準備のために考えられた講座です。 春学期のスペクトルII、スペクトル測度、スペクトル積分etc、コンパクト作用素、Fredholm作用素に続きます。
項目
  1. 有界作用素のスペクトル
    1. 準備
    2. 基本概念
    3. スペクトルの分類
  2. 有界作用素のスペクトル分解
    1. 連続関数カリキュラス
    2. 解析関数カリキュラス、スペクトル写像定理
日時   12月27日(土) 14:00−18:00、
  12月28日(日) 11:00−16:00
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講座名 【お正月特別講座】
幾何学の楽しみ 数学のセンスを磨こう
レベル 入門
内容   初等幾何の問題を楽しみながら、数学の感性と技術: 幾何学的直観、代数的な感覚、論証 の三位一体の力を向上させましょう。只今、昔故栗田先生にいただいた御著書とにらめっこして問題を選んでいます。 どのような問題が現れるかはお楽しみ。
  尚、参加費が通常の集中セミナーと異なるのでご注意ください。
日時   1月4日(日) 13:00−17:00
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講座名 核型写像の理論の展開 レベル 中級
内容 〔2015/1/6更新〕 解析学の中に現れる良い型の現象の典型で、原型は熱方程式のFourierの仕事にさかのぼります。 核型写像を通じて位相テンソル空間の理論と解析学の理解を深めましょう。位相線型空間のテンソル積の完備化 についての概略の知識は期待します。
項目
  1. 準備
  2. 核型写像の諸性質
  3. Trace form
  4. Hilbert空間における核型写像
日時   1月10日(土) 14:00−18:00、
  1月11日(日) 11:00−16:00
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講座名 新年の懇親会
内容 〔2014/12/25更新〕 詳細は以下の通りです:
[場所] 文京グリーンコート 海外天   (http://www.bunkyo-greencourt.com/restaurant/index.html
[Tel] 03-5977-3510
[住所] 〒113-0021 東京都文京区本駒込2-28-10
[交通] 山手線 駒込南口 徒歩10分
    山手線 巣鴨 徒歩12分
    三田線 千石 A-3出口より徒歩5分
    南北線 駒込 南口徒歩10分
[会費]¥4,500(当日可。なるべくお釣りの無いようにお願いします)
 
会員間の情報交換、数学の話で楽しいひと時をお過ごしください。参加ご希望の方は、なるべくお早めにお申し込みください。
日時   1月11日(日) 17:00−19:30
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 2014年度 秋学期講座
入門
IA 解析教程II
IC Modules(加群)
ID 初等線型代数と多次元空間の微積分 II
IF 数学の基本語彙と文法
初級
EA 距離空間と解析学序説 II
連結性とコンパクト性
G 抽象線型代数II
中級
MB ベクターバンドル
中・上級入門
IB 多変数関数論 擬凸性
IE 位相線型空間 位相テンソル積 その2
IS 代数関数論

〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000(学割 ¥25,000)〕。
  • 各回払いの場合は、以下の通りです:
    • 全3回講座では、第1回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第2回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第3回目¥10,000(学割 ¥9,000)です。
    • 全4回講座では、第1回目¥10,000(学割 ¥9,000)、第2回目以降¥8,000/回(学割 ¥6,000/回)です。
    • 全6回講座では、第1回目¥6,500(学割 ¥6,000)、第2回目以降¥5,500/回(学割 ¥4,000/回)です。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 解析教程II レベル 入門
内容   解析教程はいよいよ佳境に入ります。夏学期では、級数の基本的なクラスとその性質までを取り上げました。 今学期は、連続性から始めて、微積分の基本的な道具である微分積分を扱います。
項目
  1. 連続性
    1. 連続性、基本概念
    2. 連続関数のクラス
    3. 連続関数に関する3つの大域的定理
    4. 関数の極限
  2. 微分可能性
    1. 微分可能性と基本的な性質
    2. 可微分関数のクラス(C1級、局所定数関数)
    3. 高階微分、Ck級関数のクラス
  3. Riemann積分、微積分の基本定理
    1. 有界関数の積分
    2. 微積分の基本定理
日付 隔週日曜日・全6回
  9/21、 10/5、 10/19、 11/2、 11/16、 11/30
時間   11:00−13:00
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講座名 IB. 多変数関数論 擬凸性 レベル 中・上級入門
内容 〔2014/9/15更新〕 今回のテーマは、正則関数の存在域の幾何学的特徴付けである擬凸性です。 そのためにまずSchwartz超関数と軟化子を初等的に扱うつもりです。 この有用な20世紀解析学の標準装備のみに興味のある方は、第1回・第2回 のみ出られるとよいでしょう。
項目
  1. Schwartz超関数
  2. Friedrichs軟化子と各種関数のクラスの近似定理
  3. 擬凸領域
日付 隔週土曜日・全3回
  9/20、 10/4、 10/18
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. Modules(加群) レベル 入門
内容 〔2014/9/15更新〕 Atiyah、Macdonaldの本「Introduction to Commutative Algebra」第2章前半に沿っての概説です。 次学期は、加群のテンソル積が中心です。急がずじっくりやります。
項目
  1. ModuleとModule homomorphisms
  2. 部分加群、商加群
  3. 部分加群の演算
  4. 直和、直積
  5. 有限生成加群
日付 隔週日曜日・全3回
  9/21、 10/5、 10/19
時間   14:00−18:00
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講座名 ID. 初等線型代数と多次元空間の微積分 II レベル 入門
内容   今学期は、多次元空間の有向基本図形の体積としての行列式から始まります。 線型写像の行列式の性質を確立して、いよいよ領域の積分の準備のために連続写像とベクトル場を簡単に導入します。 それから写像の微分、領域の積分と続きます。
項目
  1. 体積形式と行列式、交代形式
  2. 線型変換と線型変換の行列式 Sgn再論
  3. 連続写像、ベクトル場
  4. 領域上の積分
  5. 写像の微分とJacobi行列、積分の変数変換
  6. いくつかの基礎積分
日付 隔週日曜日・全6回
  9/28、 10/12、 10/26、 11/9、 11/23、 12/7
時間   11:00−13:00
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講座名 IE. 位相線型空間 位相テンソル積 その2 レベル 中・上級入門
内容 〔2014/11/3更新〕 位相テンソル積の最も基本的なπ位相とε位相について丁寧に扱います。
項目
  1. 位相テンソル積のπ位相
  2. 位相テンソル積のε位相
  3. π位相とε位相
  4. トピックス
日付 隔週土曜日・全3回
  11/8、 11/22、 12/6
時間   14:00−18:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法 レベル 入門
内容   どのような分野にせよ、現代数学をやるつもりなら必ず初めに学ぶべき最小限の素養です。
項目
  1. Σとは何か? 改めて問う
  2. 集合の代数
  3. 写像
  4. トピックス
日付 土曜日・全6回(変則日程です
  9/27、 10/11、 10/25、 11/15、 11/29、 12/6
時間   11:00−13:00
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講座名 IS. 代数関数論 レベル 中・上級入門
内容 〔2014/11/20更新〕 今学期は代数関数体上の微分の空間の構造、Riemann面で決定する代数関数の可能な値分布、 とりわけ極と零点の構造を代数関数体の上の自然な構造として捕まえます。イデールという概念は、要するに Riemann面の各点に有限Laurent級数体からなる関数芽をつけて 有理関数の空間を作り、その上に線型形式として微分を定義しようという極めて自然な考えです。 因子から生成される部分空間の次元の関係の研究から漸く一つのクライマックスRiemann-Rochの定理に達します。
項目
  1. 因子の空間の構造
  2. イデールと微分、Riemann-Rochの定理
  3. Hasse微分
日付 毎週日曜日・全3回
  11/23、 11/30、 12/7
時間   14:00−18:00
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講座名 EA. 距離空間と解析学序説II 連結性とコンパクト性 レベル 初級
内容   諸分野への、距離空間あるいは一般位相の応用において最も重要な概念及び方法を丁寧に扱います。
項目
  1. 連結
    1. 局所定数関数と連結性
    2. 連結性の基本的性質
    3. 連結と弧状連結、Euclid空間の領域
  2. コンパクト
    1. Heine-Borelの性質と有限交叉条件
    2. コンパクト集合の基本的性質
    3. コンパクト集合上の連続関数
  3. 補充 全有界、プレコンパクト
日付 隔週日曜日・全3回
  9/28、 10/12、 10/26
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数II レベル 初級
内容   夏学期は、線型代数が展開される場である線型空間の構造を学びました。秋学期は、線型空間の間の情報の伝播の仕方を探求します。 更に、伝達機構である線型写像の集団そのものが ベクトルとして振舞う、すなわち線型空間であることを認識し、また双対の内在的重要さを認識しましょう。 ここまでくると、あるものを点と見るか関数と見るか(現代数学の認識の特徴!)は、考える人の立場にかかわることが分かってくるでしょう。
 
  一般の線型写像と行列との関係も詳細に構造的に論じることにします。最後に線型変換の表現の核になる射影の定義と基本的な性質を導きます。
項目
  1. 線型写像の定義と基本的な性質
  2. 線型写像の空間と応用
  3. 線型形式と双対空間、アジョイント
  4. 行列表現
  5. 線型変換
  6. 射影のクラス
日付 隔週土曜日・全3回
  9/27、 10/11、 10/25
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. ベクターバンドル レベル 中級
内容 〔2014/11/3更新〕 前半は夏学期の続きで、ベクターバンドルの分類を扱います。 後半はベクターバンドルへの位相群の作用を比較的丁寧にやる予定です。前半の最後にカテゴリーとファンクターの会しきな定義も取り扱います。 後半は、抽象位相と群の作用、群の表現の基本事項にある程度習熟されている方で、位相群の作用と軌道空間の位相などに関心のある方は、後半から参加されるとよいでしょう。 演習用にも最適です。
項目
  1. ベクトルバンドルの同値類のホモトピー論的特徴付け
  2. G-空間、軌道空間の位相的準備
  3. G-バンドル
日付 隔週土曜日・全3回
  11/1、 11/15、 11/29
時間   14:00−18:00
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 2014年度 夏期集中セミナー
一覧
複素数を使って幾何学を 8月17日(日)
Advanced Linear Algebra 8月23日(土)
24日(日)
数学の基本語彙と文法
同値関係・剰余類・商空間
8月30日(土)
31日(日)
Hilbert空間上の作用素I 一般論 9月6日(土)
7日(日)
可換環 補充と演習 9月13日(土)
14日(日)

〔料金について〕
  • 2日間の集中講座は¥18,000(学割¥15,000)、1日の集中講座は¥11,000(学割¥8,500)です。 ただし、今回のセミナー「複素数を使って幾何学を」は、特別料金¥6,000といたします。

 
講座名 複素数を使って幾何学を
内容   今回はもっぱら円に関する初等幾何と2次形式に関する問題に絞ります。 数学の感性と技術:幾何学的直観、代数的な感覚、論証の三位一体の力を、初等的な幾何の問題を楽しみながら向上させましょう。
日時   8月17日(日) 13:00−17:00
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講座名 Advanced Linear Algebra
内容   前回(2013年度春期集中セミナー)は、2次形式を詳細にあつかった。 今回は、春の集中で取り上げられなかった、スペクトルとfunctional calculus 一般固有値問題を取り扱う。
  Hilbert空間の作用素の研究やさらに作用素環を学ぶ際にはこの手の知識があることが望ましい。 なぜなら自然な拡張であり、あるいは有限次元で扱われる作用素クラスから位相的に近似される者たちが理解の鍵になるからです。
項目
  1. 記号、基本的概念、基本事項
  2. スペクトル定理
  3. Functional Calculus
  4. 特異値、特異ベクトル、幾何学的理論
  5. 一般固有値問題、双線型形式の極値問題
日時   8月23日(土) 14:00−18:00、
  8月24日(日) 11:00−16:00
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講座名 数学の基本語彙と文法 同値関係・剰余類・商空間
内容   数学の対象の構成の最も強力な手段の一つです。是非とも身につけてほしい現代数学の基本的道具ですが、初学者にはなじみにくいものかもしれません。 そこで基本的なことといくつかの応用を集中としてまとめました。尚、「可換環 補充と演習」では具体的な商空間の詳細な解析を体験することができます。
項目
  1. 同値関係と剰余類、剰余類の空間
  2. 代数構造に整合する同値関係
  3. 群の作用と軌道空間
  4. 商空間
日時   8月30日(土) 14:00−18:00、
  8月31日(日) 11:00−16:00
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講座名 Hilbert空間上の作用素I 一般論
内容   作用素環とのつながりを意識した有界作用素に的を絞った基礎理論である。 続編としてスペクトル、コンパクト作用素とCalkin環の構造を予定しています。
項目
  1. 有界作用素
  2. 基本的な有界作用素のクラス
  3. 正射影作用素とHilbert空間の幾何
  4. 作用素の平方根、絶対値、極分解
日時   9月6日(土) 14:00−18:00、
  9月7日(日) 11:00−16:00
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講座名 可換環 補充と演習
内容   夏学期には扱わなかったイデアルの演算(イデアル:理想数という述語の由来を悟ることができるだろう!)および Jacobson radical, Nilradicalを扱う。 これらの概念を、多項式環の各種商空間の演習問題などを丁寧に解くことを通して、しっかりと把握しましょう。
日時   9月13日(土) 14:00−18:00、
  9月14日(日) 11:00−16:00
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 2014年度 夏学期講座
入門
IA 解析教程 数直線、数列、級数、連続関数
ID 多変数微積分、初等線型代数、多次元空間
入門・初級
IC 環、加群
初級
EA 距離空間と解析学序説
G 抽象線型代数 線型空間
中級
MC Vector Bundles
中級入門
IB 多変数関数論 正則関数の存在域
IE 位相線型空間 位相テンソル空間 その1
IS 代数関数論

〔講座について〕
  • 今学期の新規開講講座は、IA、IC、ID、EA、Gです。
  • 今学期のIF「数学の基本語彙と文法」は休講です。
〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥32,000(学割 ¥25,000)〕。
  • 各回払いの場合は、以下の通りです:
    • 全3回講座では、第1回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第2回目¥12,000(学割 ¥9,000)、第3回目¥10,000(学割 ¥9,000)です。
    • 全4回講座では、第1回目¥10,000(学割 ¥9,000)、第2回目以降¥8,000/回(学割 ¥6,000/回)です。
    • 全6回講座では、第1回目¥6,500(学割 ¥6,000)、第2回目以降¥5,500/回(学割 ¥4,000/回)です。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 解析教程 数直線、数列、級数、連続関数 レベル 入門
内容   17世紀に誕生した解析学は、無限級数展開と微積分の基本定理の発見により大いに発展し、 18世紀末には現在は古典解析学といわれる巨大な殿堂がほぼ姿を現しました。しかし数学の対象の広がりに連れて、 それまでの方法と理解では解明できない問題が次々浮上してきました。
  例えば、振動の初期条件のような不規則な関数が果たして解析関数の級数として展開できるのか? そもそも関数とは何か? 積分とは何か?
  そのような問題意識から、19世紀の解析学は、18世紀解析学の基礎を再構築し未解決問題を解決するところから始まりました。 Abel、CauchyDirichletWeierstrass は、このような立場の代表者で厳密主義とも言われます。 極限概念の正確に定義することを基礎にして書かれた学校用の最初の教科書が、CauchyのCours d'Analyseです。 この厳密化の流れの中で集合論が現れ、実解析学や関数解析学の基礎付けが可能になり、 19世紀解析学から20世紀解析学へとつながってきたのです。
 
  この講座の名前はCauchyの伝統に沿うものです。扱う内容の中心は古典解析ですが、扱い方は、 線型代数が強調されている点で幾分20世紀的です。
項目
  1. 数直線の捉え方
  2. 収束列、収束級数の理論
  3. 連続関数の3つの基本定理
日付 隔週日曜日・全6回
  5/18、 6/1、 6/15、 6/29、 7/13、 7/27
時間   11:00−13:00
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講座名 IB. 多変数関数論 正則関数の存在域 レベル 中級入門
内容   春学期に、多変数正則関数の定義をWeierstrass流に冪級数展開可能性(解析性)により定義し、 収束域の研究で初めて1変数関数論と多変数関数論の違いを示す状況に出会った。 Cauchy積分公式とその帰結、1変数複素関数論と平行な結果を導出した。 最後のベキ級数の収束域の絶対空間の対数凸性! 1変数複素関数論にはどんな複素平面上の領域でも、 その領域から正則関数として拡張できないというWeierstrassの定理がある。 この結果が既に単純な領域で壊れるのである。ある正則関数が存在して拡張できないような領域を正則領域という。
  今学期は、正則領域の特徴付けをめぐる諸概念の関係と、有用な道具である劣調和及び多重列調和関数の理論を取り扱う。
項目
  1. 基礎的な事実
  2. 正則領域・正則凸性
  3. Subharmonic functions
  4. Plurisubharmonic functions と Bergmann kernel function
  5. 擬凸領域
日付 隔週土曜日・全3回
  5/17、 5/31、 6/14
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. 環、加群 レベル 入門・初級
内容   Atiyah、Macdonaldの有名な教科書「Introduction to Commutative Algebra」を基礎にした講義です。基礎概念の導入のあと、多項式環と多項式環の商環の詳細な例の演習が付きます。
項目
  1. 群と可換環の定義
  2. 部分環
  3. 環準同型
  4. 多項式環、形式冪級数環
  5. Ideals、商環
  6. 零因子、冪零元、単元
  7. 素イデアル、極大イデアル、局所環
日付 隔週日曜日・全3回
  5/18、 6/1、 6/15
時間  14:00−18:00
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講座名 ID. 多変数微積分、初等線型代数、多次元空間 レベル 入門
内容   微積分とは、局所的にはEuclid空間の初等図形の計量に他なりません。微分法は、写像を定義域の与えられた点の近くで、線型写像で近似することです。 初等線型代数を学びつつその概念を利用して、任意次元のEuclid空間の初等幾何を展開し、任意次元の空間に属する基本図形たちそれ自体の空間がまた計量構造を持つ、 数学特有の入れ子の構造を理解します。その結果を用いて、高階の微分、多変数のTaylor公式、極値問題と2次形式あたりまでを論じます。
項目
  1. 数ベクトル空間
  2. 内積、直交性
  3. Euclid空間の初等幾何
  4. 線型部分空間、Span、商空間
  5. 行列と線型写像
日付 隔週日曜日・全6回
  5/25、 6/8、 6/22、 7/6、 7/20、 8/3
時間   11:00−13:00
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講座名 IE. 位相線型空間 位相テンソル空間 その1 レベル 中級入門
内容   前学期までで、十分とは言えないが、帰納極限と射影極限まで一通り位相線型空間の概略を論じました。 今学期は、位相テンソル積を論するための準備です。解析的にはこの問題の起源は自然で、 変数分離型の関数たちの有限和(関数のテンソル積)の極限という形で、例えばFourierの線型偏微分方程式の解法の中に現れました。
  普遍性を用いた代数的なテンソル積の定義は、おそらく皆さんは慣れていないと思うので、この部分から丁寧にやります。
項目
  1. ベクトル空間のテンソル積(代数的理論)
  2. 関数空間のテンソル積
  3. 双線型形式の空間
日付 隔週土曜日・全3回
  6/28、 7/12、 7/26
時間   14:00−18:00
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講座名 IS. 代数関数論 レベル 中級入門
内容   春学期は附値体の復習と体の拡大の一般論に大きく時間を取られて、漸く今学期は因子の理論に入る。 一応p.57からp.79を予定している。余力があればイデールと微分の入口にはゆきたい。 秋学期は微分と、イデールからRiemann-Rochの定理までの予定である。
項目
  1. 代数関数体の素因子
  2. 代数関数体の因子
日付 隔週土曜日・全3回
  7/5、 7/19、 8/2
時間   14:00−18:00
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講座名 EA. 距離空間と解析学序説 レベル 初級
内容   昨年度は、開集合系からフィルタまで抽象位相を通年3期にわたって扱いました。 今学期は、通常の応用では最も頻繁に現れる距離空間に焦点を絞ります。第3期には基本的な関数空間と解析学の基本原理であるBaire Category 定理 とその応用を扱います。
 
  位相と線型代数は解析学の基本原理です。にもかかわらず、最も学び難いものでもあります。 先の講座に行かれる方、お仕事で応用解析を目指す方はこの講座で学んでおかれる事をお勧めします。
項目
  1. 距離関数、距離空間 定義と典型例
  2. 近傍系、開集合系、閉集合系、閉包、開核
  3. 点の位相的分類
  4. 点列の基本的性質、完備性
  5. 連続関数、一様連続関数
  6. 距離空間の正規性
次学期以降、 連結性、コンパクト、全有界と完備、Baire Category 定理、関数空間の位相 などを予定しています。
日付 隔週日曜日・全3回
  5/25、 6/8、 6/22
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数 線型空間 レベル 初級
内容   代数の役割は、数学・物理学をはじめとする諸科学の計算可能な言葉を創ることです。その中でも、抽象線型代数は基本的で様々な分野の記述に現れてきます。 例えば道を線型化する。基本図形の線型化。微分の空間、関数空間などなど。 実用的でないか?とんでもない!現実の微積分は座標化された線型代数そのものです。そして究極の線型代数は作用素環というわけです。
  抽象線型代数は、一般位相と並び最も基本的で根源的な数学的対象の表現手段です。抽象を道具として使いこなす現代的な数学では、この部分への習熟は当然の前提です。 そのような意識のもとで教程が作られています。数学工房の講座は、入門的な講座を除いては抽象線型代数の基本のある程度の習熟を仮定しています。
 
  上に述べた目的のため、線型空間論は有限次元特有の問題を除いては、無限次元で使える形で述べられています。また座標の概念や双対の取り扱いに特徴があります。 学部で線型代数を学ばれた方でも、道具として線型代数を使いこなす立場からの学び直しをおすすめします。
項目
  1. 線型空間 定義と典型空間
  2. 部分空間の演算
  3. 生成される線型空間、直和
  4. 線型独立・線型従属
  5. 次元、基底、座標
日付 隔週日曜日・全3回
  7/6、 7/20、 8/3
時間   14:00−18:00
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講座名 MC. Vector Bundles レベル 中級
内容 〔2014/5/19更新〕 春学期に取り上げた内容は、基礎空間が一般的な位相空間でした。以後は十分に連続関数が豊富に含まれた世界 コンパクトハウスドルフ空間であると仮定します。 従ってトポロジカルな変形が可能になるのです。このような理論への付き合いを通じて位相の諸定理の意味や有用さ、カテゴリー的な記述の仕方の有用性を悟ってください。
項目
  1. バンドル上のプロジェクションと計量
  2. コンパクト空間上のバンドル
  3. G-バンドル
日付 隔週土曜日・全3回
  5/24、 6/7、 6/21
時間   14:00−18:00
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 2013年度 春期集中セミナー
一覧
Advanced Linear Algebra 4月26日(土)
27日(日)
続 複素数を使いこなして幾何学を(特別講座) 4月29日(火・祝)
無限の作法(Zornの補題、選択公理、集合の濃度 応用) 続基本語彙と文法 5月3日(土・祝)
4日(日・祝)
代数学特論 拡大体II 5月5日(月・祝)
6日(火・祝)

〔料金について〕
  • 2日間の集中講座は¥16,000、1日の集中講座は¥8,000(特別料金)です。

 
講座名 Advanced Linear Algebra
内容   CourantHilbert著「数理物理学の方法」の第1章はご存知のように2次形式の基礎から始まります。 この講座はある意味でその現代化 で応用にもまた関数解析への基礎素養としても重要なものです。
項目
  1. 準備
  2. 2次形式の最大原理と対称変換の固有値
  3. 正射影の代数
  4. 対称変換のスペクトル分解
  5. スペクトル定理、Functional calculus
  6. 一般化固有値問題、特異値、特異ベクトル
日時   4月26日(土) 14:00−18:00、
  4月27日(日) 11:00−16:00
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講座名 続 複素数を使いこなして幾何学を(特別講座)
内容   古典的な初等幾何学からの玄妙とも言うべき多角形や円に関する諸事実を楽しみながら、 図形と式感覚のバランスを向上させましょう。
日時   4月29日(火・祝) 13:00−17:00
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講座名 無限の作法(Zornの補題、選択公理、集合の濃度 応用) 続基本語彙と文法
内容   Zornの補題や選択公理、集合の濃度の比較等は数学の理論の土台として避けて通ることはできません。 実際に数学をやる立場から最小限 集合の濃度、あるいはフィルタのどちらかを取り上げます。
項目
  1. Zornの補題
    1. Zornの補題の定式化
    2. 用法
  2. 選択公理
    1. 直積集合
    2. 選択公理の導出
    3. 選択公理から導かれる基礎原理
  3. Topics
日時   5月3日(土・祝) 14:00−18:00、
  5月4日(日・祝) 11:00−16:00
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講座名 代数学特論 拡大体II
内容   冬期集中セミナーに続いて、体の拡大を取り上げます。いよいよGalois理論の核心です。 代数系入門 第5章 7節〜10節(松坂和夫著、岩波書店)に当たります。
項目
  1. 準備
  2. 自己同型群と固定体
  3. 正規拡大
  4. Galois理論の基本定理
  5. 有限分離拡大の単純性
日時   5月5日(月・祝) 14:00−18:00、
  5月6日(火・祝) 11:00−16:00
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 2013年度 春学期講座
入門
IA 解析教程0 代数解析学的Introduction
IC Möbius変換の理論(解析的自己同型群)
ID 初等線型代数と微積分・多次元空間
IF 数学の基本語彙と文法
初級
EA 抽象位相 ネット(収束による位相の特徴付け)
G 抽象線型代数 内積空間の幾何と作用素のクラス
中級
MB Vector Bundles
中・上級入門
IB 多変数複素解析 初等的理論
IE 位相線型空間 Duality3
IS 代数関数論 代数関数体

【2014/1/16更新】
  2014年会費(1月〜12月)¥3,000(学生 ¥1,500)のご納入をお願いします。

 
〔講座について〕
  • 今学期の新規開講講座は、IA、IF、MBです。
〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔\30,000(学生 \21,000)〕。
  • 各回払いの場合、全4回講座では¥7,500/回(学生 ¥5,000/回)、全3回講座では¥10,000/回(学生 ¥7,000/回)です。 受講にあたっては、別途¥2,000(テキスト代・手数料)が初回受講時にかかります。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IA. 解析教程0 代数解析学的Introduction レベル 入門(準備コース)
内容   いわゆる、ε-δの前段として、18世紀的な思想のもとで初等超越関数を導入しその基本的な性質を導く。 これらの知識を前提として、5月から、連続関数の基本定理からFourier級数の基礎的な性質までを目標にしたCours d'Analyseを開講する予定です。
項目  
日付 〔2014/2/14更新〕 隔週土曜日・全4回 の予定でしたが、2月8日・9日にかけての大雪により、次のように講座日程が変更になりました。
  1/25、 (2/8)、 2/22、 3/1、 3/8
時間   14:00−17:00
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講座名 IB. 多変数複素解析 初等的理論 レベル 中・上級入門
内容   2013年度夏学期・秋学期 に、1変数の複素関数論により多変数の状況で扱うテーマと方法を紹介しました。 2変数以上の正則関数と1変数関数論では、関数の存在域の幾何学的な形状について全く違う状況が現れてきます。 今学期は、多変数の複素関数論のCauchy理論を中心に1変数関数論とパラレルな部分を中心に取り扱います。 多重級数の取り扱いや、多変数の場合に有用な略記法等になれることも今学期の目標です。
項目
  1. Introduction
  2. 初等的な結果
    1. 正則関数
    2. 積分公式とOsgoodの補題
    3. 実微分可能性とCauchy-Riemann方程式
    4. 1変数関数論にパラレルな性質1
    5. 正則写像
    6. 1変数関数論にパラレルな性質2
日付 〔2014/2/25更新〕 隔週土曜日・全3回 の予定でしたが、大雪の影響で、次のように講座日程が変更になりました。
  1/18、 2/1、 (2/15)、 3/22
時間   14:00−18:00
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講座名 IC. Möbius変換の理論(解析的自己同型群) レベル 入門
内容   2013年度秋学期では、Möbius変換の初歩的な性質と、 複素数平面(Riemann球)上の初等的幾何学との関係を扱いました。 今学期は比較的初等的に扱える範囲でMöbius変換の分類、解析的変換群、基本的な領域の解析的変換群などを紹介するつもりです。
ここから先はそろそろこの講座の範囲を超えた内容になるので、次の機会にしたいとおもいます。
項目  
日付 〔2014/2/14更新〕 隔週日曜日・全6回 の予定でしたが、2月8日・9日にかけての大雪により、次のように講座日程が変更になりました。
  1/26、 (2/9)、 2/23、 3/9、 3/23、 4/6、 4/13
時間 〔2014/2/14更新〕 11:00−13:00 (ただし、4/13は14:00−16:00
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講座名 ID. 初等線型代数と微積分・多次元空間 レベル 入門
内容   実変数の多変数関数の高階微分と平均値定理、グラージェント、ヘッセ行列、ラプラシアン、そして多変数のTaylor公式、極値の分類などを座標フリーの方法で明確に扱います。
項目
  1. r回連続微分可能な関数のクラス
  2. グラージェント、ダイバージェンス、Hesse行列、ラプラシアン
  3. 高階微分とテンソル表示
  4. 剰余付きTaylor公式
  5. 極値と極値の分類
日付 隔週日曜日・全6回
  1/19、 2/2、 2/16、 3/2、 3/16、 3/30
時間   11:00−13:00
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講座名 IE. 位相線型空間 Duality3 レベル 中・上級入門
内容   「位相線型空間 Duality序章」(2012年度春期集中セミナー)、「Duality II (位相線型空間特論)」(2013年度夏期集中セミナー)に続いて、Dualityを取り上げます。 局所凸空間のDualityを用いた研究は現代的な位相線型空間論の核心的な部分です。深く しかも膨大に積み重ねられた部分なので、この理論の全体を取り上げることは、私には到底不可能ですので、 これから位相テンソル積、作用素環の理論へつながる段階として基礎的と思われることにとどめました。
項目
  1. 定義と基礎的な結果の整理
  2. 射影位相と帰納位相のDuality
  3. 閉線型写像のAdjoint
  4. 一般開写像定理と閉グラフ定理
  5. トピックス
日付 毎週日曜日・全3回
  3/2、 3/9、 3/16
時間   14:00−18:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法 レベル 入門
内容   文字通り数学語の基本的なスキルを学んでもらう講座です。 もし自分で数学の世界を歩くつもりなら一部の例外的な人を除いては、まずここから始められることを勧めます。
項目
  1. ∑記法と数学的帰納法
  2. 集合と写像
  3. トピックス
日付 〔2014/2/14更新〕 隔週土曜日・全6回 の予定でしたが、2月8日・9日にかけての大雪により、次のように講座日程が変更になりました。
  1/25、 (2/8)、 2/22、 3/8、 3/22、 4/5、 4/13
時間   11:00−13:00
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講座名 IS. 代数関数論 代数関数体 レベル 中・上級入門
内容   2013年度夏学期、秋学期で 一通り離散附値体の理論を準備しました。今学期から代数関数論の本論(岩澤健吉著 代数函数論 第2章)に入ります。
項目  
日付 毎週日曜日・全3回
  3/23、 3/30、 4/6
時間   14:00−18:00
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講座名 EA. 抽象位相 ネット(収束による位相の特徴付け) レベル 初級
内容   今学期は2つの解析学への応用上重要なトピックスを補充します。
  ひとつは、フィルタと並んで有用な道具であるネットを扱います。私見では、事柄にもよりますが、関数空間やより一般的に位相線型空間などで収束を扱う際にはフィルタよりはるかに使い勝手が良いように感じています。 余裕があれば、一般添字の級数のネット収束も扱う予定です。
  もうひとつのトピックスはパラコンパクト性を扱います。多くの問題で局所データを貼り合わせる、あるいは逆に解析的対象を局所的なデータに分解する。 そうして必要な性質を持つ解析的対象を構成する。このような操作が可能な位相空間の一般論です。このような道具の確立により多様体上の解析学、解析多様体上の解析学は長足の進歩を遂げました。
項目
  1. ネットの定義と基本的な性質
  2. 一般添字の級数
  3. 単位の分解とパラコンパクト性
日付 隔週日曜日・全3回
  1/26、 2/9、 2/23
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数 内積空間の幾何と作用素のクラス レベル 初級
内容   一般位相と並んで最も基本的な型稽古としてこの講座は設けられていますが、同時にこの辺の内容は応用上も極めて有用な部分です。 前半は内積空間の幾何学:直交性、正射影定理から始まり、直交化、線型形式とその応用まで。 後半は作用素のクラス。純粋応用を問わず、いたるところに現れる基本的な作用素の一般論です。
  2次形式のより詳しい理論や特異値、特異ベクトル等は集中で取り上げる予定です。
項目
  1. 内積空間の幾何学
  2. 基本的な作用素のクラス
  3. 対象変換とスペクトル
日付 隔週日曜日・全3回
  1/19、 2/2、 2/16
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. Vector Bundles レベル 中級
内容   線型代数と一般位相のみを仮定して第一歩から論じます。多様体の基本知識があれば理解の助けにはなりますが、必ずしも必要としません。 M.F.Atiyahの1964年のHarvardでの講義ノート(K-Theory  Benjamin Inc.)を参考にしました。
項目
  1. 基本的定義
  2. ベクトルバンドル上の様々な操作
  3. 部分バンドルと商バンドル
  4. 付随する各種構造
  5. G-バンドルとG-空間
日付 隔週土曜日・全3回
  3/15、 3/29、 4/12
時間   14:00−18:00
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 2013年度 冬期集中セミナー
入門
【新年特別企画】
複素数を使いこなして幾何学を(数学的センスの向上!)
1月5日(日)
入門・初級
代数特論 可換体の拡大 12月21日(土)
22日(日)
Trace Formula とはなにか?(20世紀の恒等式) 12月23日(月・祝)
解析教程補充
有界変動関数とStieltjes積分
1月11日(土)
12日(日)
中級
位相線型空間 射影極限と帰納極限 12月14日(土)
15日(日)
懇親会:
新年の懇親会 1月12日(日)

【2013/12/5更新】
  2014年会費(1月〜12月)¥3,000(学生 ¥1,500)のご納入をお願いします。 集中セミナーを受講される方は、セミナー受講料と同時にお支払いください。
  集中セミナーは、会費のお振込みがないと会員外の講座料になりますのでご注意ください。
 
〔料金について〕
  • 2日間の集中講座は、¥16,000(会員)、¥12,000(学生会員)です。
  • 1日の集中講座は、¥10,000(会員)、¥8,000(学生会員)です。ただし、新年特別企画については¥5,000です。
  • 「新年の懇親会」の会費は¥4,500位の予定です。予約の都合上、ご希望の方はお早めにお申し込みください。

 
講座名 位相線型空間 射影極限と帰納極限 レベル 中級
内容 〔2013/12/10更新〕 射影極限と帰納極限は、さまざまな解析的対象の記述の手段として現れます。 TVSのカテゴリーでも極めて強力で、関数空間の構成、系統的な研究に有用な道具です。
  今回は主に、TVSのカテゴリーでの基本的な結果を体系的にまとめます。水準は、SchaeferのTopological vector spaces 程度です。 結果だけでなく、議論の中でのネットやフィルターの用法についても学んでいただきたいと思います。
  尚、2014年度夏学期から、位相テンソル積と核を扱う予定です。
項目
  1. 一般位相からの準備
  2. TVSの射影位相、帰納位相
  3. TVSの射影極限
  4. TVSの帰納極限
  5. トピックス
日時   12月14日(土) 14:00−18:00、
  12月15日(日) 11:00−16:00
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講座名 代数特論 可換体の拡大 レベル 入門・初級
内容 〔2013/12/18更新〕 体の拡大について初歩的なことを扱います。 今回の目標は多項式の分離性あたりまでです(若干プログラムをゆったりにしました)。 群、環、体のごく基本的なこと(素イデアル、整域 etc)、線型代数の概略(例えば線型空間の基底、次元、線型変換の行列式、トレース etc) などの知識は、ある程度馴染みがあるものとします。
  もともとこの集中セミナーは、代数関数論の準備から派生したものです。線型代数の応用練習としても手頃です。
項目
  1. 体の構造の基本概念(素体、標数)
  2. 体の拡大
  3. 体の単純拡大(代数拡大、超越拡大)
  4. 有限次拡大体、代数拡大体
  5. 分解体
  6. 多項式の形式微分と重根
  7. 多項式の分離性
日時   12月21日(土) 14:00−18:00、
  12月22日(日) 11:00−16:00
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講座名 Trace Formula とはなにか?(20世紀の恒等式) レベル 入門・初級
内容   恒等式は、線型代数の言葉を使えば、ある線型空間に属する対象を2つの異なった基底により表現した時に得られる興味深い等式のことです。 Euler以来、こうして美しくも興味深い恒等式が得られてきました。Selbergのtrace formulaもこの古典的伝統の現代版にほかなりません。 ざっと言えば、関数空間の上で積分作用素のtraceを二つの自然な基底を用いて書き表すことで、 ベースになる空間に群が作用しているとき、既約表現の行列要素からなる基底(調和解析的基底)と他の自然な基底による展開を比較するのです。
  今回は考え方を、主に有限群の表現との関係で簡単に解説します。群や線型代数の基本的な知識は仮定します。
項目
  1. 有限群とコンパクト群の表現論 基本的なこと
  2. 有限群とコンパクト群上のTrace Formula
日時   12月23日(月・祝) 13:00−17:00
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講座名 【新年特別企画】
複素数を使いこなして幾何学を(数学的センスの向上!)
レベル 入門
内容   初等幾何の面白い問題を楽しみつつ、式、論理、直感のバランス感覚を養いましょう。 尚、新年のお楽しみ企画なので参加費が通常の集中セミナーと違うのでご注意ください。
日時   1月5日(日) 13:00−17:00
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講座名 解析教程補充
有界変動関数とStieltjes積分
レベル 入門・初級
内容 〔2014/1/8更新〕 有界変動関数とStieltjes積分は実解析学において最も有用かつ基本的な道具ですが、 まとめて取り扱う機会がなかなかないので集中セミナーで取り上げることにしました。 微積分の評価の基礎技術がちゃんと身に付いているかが、このような発展形態でやってみると実によくわかります。 微積分の学び直しを発展的にしたい人には良い演習です。
項目
  1. 単調関数とRiemann-Stieltjes積分
  2. 実数値有界変動関数
  3. 複素数値有界変動関数
日時   1月11日(土) 14:00−18:00、
  1月12日(日) 11:00−16:00
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講座名 新年の懇親会
内容 〔2013/12/5更新〕 今回の会場は、都合により教室ではなく下記の広東料理店を予定しています:
[場所] 文京グリーンコート 海外天   (http://www.bunkyo-greencourt.com/restaurant/index.html
[Tel] 03-5977-3510
[住所] 〒113-0021 東京都文京区本駒込2-28-10
会費は¥4,500位の予定です。予約の都合上、ご希望の方はお早めにお申し込みください。
日時   1月12日(日) 17:00−19:30
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 2013年度 秋学期講座
入門
IC 群・複素数平面・メビウス変換 2
ID 初等線型代数と多次元空間での微積分 2
体積要素、行列式と積分、写像の微分
初級
EA 抽象位相II
連結性とコンパクト
G 抽象線型代数II
線型写像と線型写像の空間、行列表現
初級・中級
IB 多変数複素関数論入門 その2
(1変数概観 2)
MB 解析学のための多様体入門V
中級
IE 位相線型空間概論
補充と一様有界性原理の応用
IS 代数関数論 2

〔講座について〕
  • 講座IF、EBについては、開講未定です【8月23日現在】。
〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔\30,000(学生 \21,000)〕。
  • 各回払いの場合、全4回講座では¥7,500/回(学生 ¥5,000/回)、全3回講座では¥10,000/回(学生 ¥7,000/回)です。 受講にあたっては、別途¥2,000(テキスト代・手数料)が初回受講時にかかります。
  • その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談ください。

 
講座名 IB. 多変数複素関数論入門 その2
(1変数概観 2)
レベル 初級・中級
内容   夏学期は、Rungeの定理、正則凸性まで、多変数関数論の流儀で紹介しました。 今学期は続きで、多変数関数論の20世紀前半の最も中心問題であるCousinの問題のイントロダクションとして、Mittag-Lefflerの定理やWeierstrassの定理 を偏微分方程式の方法で紹介します。また、有用な補助的道具として劣調和関数を導入します。
項目
  1. 有理型関数再論(層の言葉による定義)
  2. Mittag-Lefflerの定理
  3. Weierstrassの定理
  4. 劣調和関数
日付 隔週土曜日・全4回
  9/28、 10/12、 10/26、 11/9
時間   14:00−17:00
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講座名 IC. 群・複素数平面・メビウス変換 2 レベル 入門
内容   夏学期には、群の作用を含む準同型定理までの基本事項と若干の例を取り上げました。 今学期のテーマは、複素平面の初等幾何学とMöbius変換の分類、標準型、解析変換群です。 たかが1次分数関数と侮るなかれ、ここからKlein-Poincaré流のRiemann面の理論が始まります。
項目
  1. 複素数、複素平面
  2. 初等幾何学への応用
  3. 正則関数
  4. Möbius変換
    1. 定義と基本的性質
    2. Möbius変換の分類
    3. 正則変換群
日付 隔週日曜日・全6回
  9/29、 10/13、 10/27、 11/10、 11/24、 12/8
時間   11:00−13:00
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講座名 ID. 初等線型代数と多次元空間での微積分 2
体積要素、行列式と積分、写像の微分
レベル 入門
内容   夏学期は、多次元空間とその上の簡単な幾何と線型代数を考えました。今学期は、線型写像と行列に関する基本事項のまとめから始めて、有向体積と行列式を取り扱います。 その系として、みなさんご存知の様々な公式が出てきます。また置換群の表現、符号群によって表現論的な考え方の有用性を悟ってもらえたらと考えています。 そのような結果を基礎に無限解析(多次元空間の積分)を直感的に導入します。
項目
  1. 線形写像、変換 行列
  2. 有向体積と交代形式
  3. 変換と行列式
  4. 領域上の積分、定義と基本公式
  5. 領域の変換とJacobi行列
  6. 幾つかの基礎積分
日付 隔週日曜日・全6回
  9/22、 10/6、 10/20、 11/3、 11/17、 12/1
時間   11:00−13:00
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講座名 IE. 位相線型空間概論
補充と一様有界性原理の応用
レベル 中級
内容   夏学期は、線型写像の空間のS-位相と有界性、相対コンパクトの同等連続性による特徴付けを行いました。 樽型空間を導入し、Banach-Steinhausの定理を最も一般的な形で導入しました。 今学期は、具体的な関数空間を論ずる際に重要になる、TVSの帰納極限・射影極限を論じます。 また、微妙かつ強力な応用が多いBanach-Steinhausの典型的な用法の型を学び理解を深めたいと考えています。
  幾つかのトピックスを除けば、後は位相テンソル積と核型空間の理論が残されるのみです。
項目
  1. 帰納極限、射影極限
  2. Fréchet空間、IFL空間
  3. Banach-Steinhausの応用
  4. トピックス(回帰性あるいはBanachの定理)
日付 隔週土曜日・全3回
  9/21、 10/5、 10/19
時間   14:00−18:00
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講座名 IS. 代数関数論 2 レベル 中級
内容   夏学期は、附値体の完備化の概略まで扱いました。 今学期は、完備附値体の2つの基本定理 展開定理とHenselの定理 から始めて、附値の膨張と射影を扱います。 これでほぼ代数関数論の代数的なアプローチの準備が終わります。
項目  
日付 隔週日曜日・全3回
  11/3、 11/17、 12/1
時間   14:00−18:00
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講座名 EA. 抽象位相II
連結性とコンパクト
レベル 初級
内容   諸分野への基本的な応用において最も重要な概念及び方法を丁寧に扱います。 始位相・終位相は、対象に自然な位相を入れる際の有用な道具です。
項目
  1. 連結性
  2. コンパクト性
  3. 始位相、終位相
日付 隔週日曜日・全3回
  9/29、 10/13、 10/27
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数II
線型写像と線型写像の空間、行列表現
レベル 初級
内容   夏学期は、線型代数が展開される場である線型空間の構造を学びました。今学期は、線型空間の間の情報の伝播の仕方を探求します。 更に、伝達機構である線型写像の集団そのものがベクトルとして振舞う、すなわち線型空間であることを認識し、双対の内在的重要さを認識します。
  また、一般の線型写像と行列との関係も詳細に論じます。最後に、線型変換の表現の核になる射影の定義と基本的な性質を導きます。
項目
  1. 線型写像の定義と基本的な性質
  2. 線型写像の空間
  3. 線型形式と双対空間
  4. 行列表現
  5. 線型変換と射影
日付 隔週日曜日・全3回
  9/22、 10/6、 10/20
時間   14:00−18:00
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講座名 MB. 解析学のための多様体入門V レベル 初級・中級
内容 〔2013/11/7更新〕 夏学期は、全2回ということもあって多様体上の微分形式の積分と体積要素に焦点を絞りました。 今学期は、基本的な結果の概説をします。
項目
  1. 準備
  2. Stokesの定理
  3. 多様体上のコホモロジー群
  4. 写像度
  5. ベクトル場のダイバージェンスとLaplacian
日付 隔週日曜日・全3回
  11/10、 11/24、 12/8
時間   14:00−18:00
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 2013年度 夏期集中セミナー
入門
Fourier解析を巡って (解析特論) 8月24日(土)
25日(日)
入門・初級
ベクトル空間上の凸性、凸関数 一般化 9月7日(土)
8日(日)
有限群の表現 (代数特論) 9月14日(土)
15日(日)
中級
Duality II (位相線型空間特論) 9月1日(日)

〔料金について〕
  • 2日間の集中講座は、¥16,000(会員)、¥12,000(学生会員)です。
  • 1日の集中講座は、¥10,000(会員)、¥8,000(学生会員)です。

 
講座名 Fourier解析を巡って (解析特論) レベル 入門
内容 〔2013/8/21更新〕 Fourier解析を中心に交差する数学の世界は、実り豊かで眺めるだけでも楽しいものです。 T.W.ケルナーの「フーリエ解析大全」やジグムントの大著「Trigonometric Series(三角級数)」を拾い読みするだけでも、実に面白いことがいっぱい書いてあります。 普段の数学工房では、どちらかというと体系的な取り扱いを強調していますが、 今回は解析教程の続編として、いつもと違うスタンスでFourier級数の性質の正当化を起源とするに実解析学の定理や理論の故郷を訪ねます。
 
  任意の関数が三角級数に展開できるというFourierの主張と見事な熱理論への応用は、 巨匠たちの手によって鉱脈が掘り尽くされたように見えた解析学に、困難だが魅力的な研究対象を切り開きました。実解析学の誕生です。 Fourierの主張の正当化を契機として、関数や積分の概念の厳密化、集合論などが現れ現代数学の土壌が耕されていったのです。 例えば現代では、みなさんご存知のとおりいたるところ微分できない連続関数は自然な存在ですが、 これらは、珍奇なものとしてFourier級数の各点収束の研究の反例として現れたのです。
  今回は、Fourier級数に伴って現れる、基礎的な近似定理としてFejérの定理やWeierstrassの定理、近似定理の使い方を兼ねて、 有名なWeylの一様分布を導いてもらいます。それから各点収束についての基本的な判定をまとめておきましょう。 それから時間の許す限り、幾つかの面白いあるいは美しいトピックスを訪ねましょう。 微積分の素養の強化、現代数学に本格的に取り組む準備としてご利用ください。
項目
  1. 記号、概念
  2. Dirichlet核、Fejér核
  3. Fejérの定理とWeierstrassの定理
  4. Weylの一様分布
  5. 各点収束についての基本的判定法
  6. トピックス
日時   8月24日(土) 14:00−18:00、
  8月25日(日) 11:00−16:00
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講座名 Duality II (位相線型空間特論) レベル 中級
内容 〔2013/8/26更新〕 2012年度春期集中セミナーで開講した「位相線型空間 Duality序章」の続編です。 今回も時間的な制約がありますので、概念を正しく理解すること、定理をきちっと使えるようにすること(例えばBipolar Theorem)に重点を置きます。
  Dualityはいずれ本格的に扱いたいと考えています。秋学期は、実際の解析学で重要なBanach-Steinhausの応用、TVSの帰納極限、射影極限、特にF空間、LF空間 を丁寧に扱う予定です。
 
  Dualityの問題の中心は、Hausdorff LCS (E, ℑ) が与えられたとき その双対 (E, ℑ)′との間に生じる弱位相(これは普遍的)により、 各点における性質が、与えられた位相にどのように反映するかが問題にされます。 双対がVSとして同一であるという性質から、弱位相で確立される収束性に関する性質(弱位相はチコノフの定理が使えるという有益な性質がある!)が、 凸集合に制限する限り元の位相でも言えるのです。例えば、解析学でSchwartz型の超関数が有用なのはこういう事情に基づきます。 時間の関係ですべてを詳しく論ずることはできませんが、なるべく概念の関係を明らかにするように努めました。
項目
  1. 基本的概念からBipolar Theoremまで
  2. 弱位相続論
  3. 双対性に整合する位相、Mackey位相
  4. 回帰性、半回帰性
日時   9月1日(日) 11:00−17:00
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講座名 ベクトル空間上の凸性、凸関数 一般化 レベル 入門・初級
内容   凸性の概念の有用性は、会員の皆さんには言うまでもないことと思われます。 実際、関数解析学の基本原理であるHahn-Banachの定理はまさに凸集合の配置についての定理です。 現在では、凸の持つ純粋、応用にかけての有用性は凸解析(とかChoquetの理論)としてひとつの分野になっているほどです。
項目
  1. 定義と基本的な性質
  2. Minkowski functional、Semi-norm、Norm
  3. 幾何学的不等式
  4. 凸性の概念の一般化
日時   9月7日(土) 14:00−18:00、
  9月8日(日) 11:00−16:00
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講座名 有限群の表現 (代数特論) レベル 入門・初級
内容 〔2013/9/12更新〕 基本的な道具は、有限次元の内積空間線型代数だけです。 有限群であることは、不変測度の存在以外に使われていません。線型代数の習熟度の試金石と言えましょう。 不変測度の部分を修正すれば、コンパクト群の表現論になるようにしてあります。
項目
  1. 表現とG-Module
  2. Schurの補題
  3. 表現の同値関係
  4. 指標
  5. 有限群の正則表現
  6. Peter-Weylの定理と調和解析
日時   9月14日(土) 14:00−18:00、
  9月15日(日) 11:00−16:00
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 2013年度 夏学期講座
入門
IC 群・複素数平面・メビウス変換 1
(群の概念)
ID 初等線型代数と多次元空間での微積分 1
(多次元空間)
IF 数学の基本語彙と文法
初級
EA 抽象位相I
基本概念
G 抽象線型代数I
線型空間、実在と表現
初級・中級
IB 多変数複素関数論入門 その1
(1変数概観)
EB 外微分の応用
MB 解析学のための多様体入門IV
多様体上の向き付け、積分
中級
IE 位相線型空間概論
線型写像の空間・等連続集合・一様有界性原理
IS 代数関数論 付値体
(岩澤健吉著 代数函数論 第1章)

〔講座について〕
  • 講座IE、EB、MB以外の7講座は、今学期から新規に開講します。
〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です。一括前納の場合、 講座MBは¥20,000(学生 ¥14,000)、それ以外の講座は¥30,000(学生 ¥21,000)です。 その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談下さい。

 
講座名 IB. 多変数複素関数論入門 その1
(1変数概観)
レベル 初級・中級
内容 〔2013/5/14更新〕 多変数複素関数論をCauchy-Riemannの立場(実解析的立場)から扱った Hörmanderの古典的名著に従った、多変数関数論入門の講座です。 多変数の微積分のごく基本的な概念(例えば微分とJacobi行列、逆関数定理、Stokesの公式)、位相の基本的なことは既知とします。 既に関数論をご存知の方にも、知識のまとめとリフレッシュを兼ねたAdvancedコースとしておすすめします。
  尚、レジュメは便宜を考えて、An Introduction to Complex Analysis in Several Variables 3版(North Holland)に沿うようにしました。
項目
  1. 正則関数
  2. Cauchyの積分公式とその応用
  3. Rungeの近似定理
  4. Mittag-Lefflerの定理
  5. Weierstrassの定理
日付 隔週土曜日・全4回
  5/18、 6/1、 6/15、 6/29
時間   14:00−17:00
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講座名 IC. 群・複素数平面・メビウス変換 1
(群の概念)
レベル 入門
内容 〔2013/5/23更新〕 群の発見は、変換たちが数のように振舞うということから始まりました。現代の意味での代数の始まりです。 Galoisの目覚しい成功のあとを受けて、Kleinは幾何の統制原理として群の言葉に注目し、 更にLie、Poincaréとともに群論的解析学に向かったのです。
  夏学期は群の基礎概念が中心です。私たちも写像の合成の算術的性格に注意することから始めましょう。 遠い目標は、複素数平面上のMöbius変換の離散部分群を調べること(=KleinPoincaré流のRiemann面の理論への入門)です。 こんなことをどこか心の片隅に置いて焦らずに、途中であちらこちら散歩をしながら進んでいきましょう。
項目
  1. 群の基本概念
    1. 群、半群、変換群
    2. 部分群、群準同型、正規部分群
    3. 群の作用とコセット空間
  2. 複素数平面
    1. 複素数系
    2. 複素数平面と直線と円の幾何
日付 隔週日曜日・全6回
  5/26、 6/9、 6/23、 7/7、 7/21、 8/4
時間   11:00−13:00
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講座名 ID. 初等線型代数と多次元空間での微積分 1
(多次元空間)
レベル 入門
内容 〔2013/5/13更新〕 微積分とは局所的には、Euclid空間の図形の計量にほかなりません。 実際、多次元空間の概念は多変数の微積分が展開する場として現れたのである。 Jacobiの多重積分の計算やCauchy-Lagrange恒等式から始まりRiemann-Grassmannを経てCantorの集合論の言葉の創造により、 19世紀の末に無限次元の空間に飛翔するのである。
 
  微分法は与えられた関数を線型写像で局所近似することです。講座IDの構成は、先ず任意次元のEuclid空間の初等幾何と計算法として初等線型代数を導入します。 次学期に基本図形の有向体積とその変換、積分が導入され、Jacobi行列の意味が明らかにされます。 この結果を用いて、最終学期で多変数の高階微分及び剰余付きTaylor公式等を座標フリーな形で導きます。 多様体上の微積分はこのことを徹底して理念化したものです。本質的な点はほぼEuclid空間の幾何学のレベルで理解できるわけです。
  今学期はその1です。主に多次元のEuclid空間の基本図形を扱います。
項目
  1. 数ベクトル空間
  2. 内積、直交性
  3. 平面、線型部分空間、張る空間
  4. 凸性
  5. 行列、線型写像
日付 隔週日曜日・全6回
  5/19、 6/2、 6/16、 6/30、 7/14、 7/28
時間   11:00−13:00
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講座名 IE. 位相線型空間概論
線型写像の空間・等連続集合・一様有界性原理
レベル 中級
内容 〔2013/5/23更新〕 今学期は、連続線型写像の空間L(E,F)のプレコンパクト性の特徴付けが中心ですが、全く一般に集合X上のE-値写像全体の空間のS-位相から始めます。 X上のE-値写像の空間の部分空間が相対位相で線型位相空間になる条件から始まります。この位相のプレコンパクト集合の研究は関数解析においては最も原理的なものです。 Xが局所コンパクト空間の時、Sがコンパクト集合全体の族なら扱う位相はCUと言われ、 この空間の相対コンパクト集合の特徴付けが有名なAscoli-Arzelàの定理です。複素関数論で言えばMontelの正規族がそれにあたります。 この定理はかたちや名前を変え、重要な局面であちらこちらにkey Lemmaとして現れるので、 統一的理解はこの上もなく関数解析全般の基礎としてS-位相の一般論の部分のみ参加される方も歓迎します。
項目
  1. 準備
  2. S-位相再論
  3. 等連続性、一様有界性原理、Banach-Steinhausの定理
  4. 双線型写像と位相テンソル積
日付 隔週土曜日・全3回
  5/25、 6/8、 6/22
時間   14:00−18:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法 レベル 入門
内容 〔2013/5/31更新〕 どのような分野の数学をやるにせよ、現代の数学をやるには必須の最低限の技術的知識です。 それ以前の知識にかかわりなく、この部分に難点があるとご自分で本格的に数学をやる際の躓きの石になります(実際長年の経験ではこの部分が不確かな方が多い!)。 この部分に十分に習熟されている例外的な方を除いては、なるべく早いうちの履修をお勧めします。
項目
  1. シグマ再論、数学的帰納法の用法
  2. 集合の代数
  3. 写像
  4. トピックス
日付 隔週土曜日・全6回
  5/18、 6/1、 6/15、 6/29、 7/13、 7/27
時間   11:00−13:00
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講座名 IS. 代数関数論 付値体
(岩澤健吉著 代数函数論 第1章)
レベル 中級
内容 〔2013/7/3更新〕 今学期は、岩澤健吉著 代数函数論 第1章 附値論よりの準備に沿っての概説です。 附値は有理型関数の位数の一般化です。一点の周りでの冪級数とLaurent級数を念頭に置けばやっていることの見当がつくでしょう。
項目
  1. 付値により定まる距離と完備化
    1. 付値の定義
    2. 付値による位相の比較
    3. 素因子による完備化
    4. 完備体の展開定理
    5. Henselの定理
  2. 素因子による膨張と射影
    1. 相対次数、分岐次数
    2. 素因子の膨張
日付 毎週日曜日・全4回
  7/7、 7/14、 7/21、 7/28
時間   14:00−17:00
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講座名 EA. 抽象位相I
基本概念
レベル 初級
内容 〔2013/5/23更新〕 前年度は、「距離空間と解析序説」というタイトルで位相の基礎を論じました。今年度はアドバンストコースです。 いつも申し上げることですが、「抽象という操作は実用的である」をスローガンに主に関数解析の基礎素養としてのトポロジーの基礎をテーマに進んでいきます。 従ってある集合上のすべての位相や、位相の族の上限、下限、与えられた条件下で位相を作るなどの 概念的に高次の、しかし数学を研究する際に実際的な操作が問題になります。
  この講座では数学的な成熟をある程度期待しています。関連する講座としてはIEはこの講座の発展編です。位相の学び直しに最適です。
項目
  1. 位相の概念 開集合系、閉集合系、近傍系
  2. 距離空間、ノルム空間
  3. 点のトポス
  4. 連続写像
  5. フィルタ
日付 隔週日曜日・全3回
  5/26、 6/9、 6/23
時間   14:00−18:00
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講座名 EB. 外微分の応用 レベル 初級・中級
内容 〔2013/7/3更新〕 Flandersの教科書「微分形式の理論 およびその物理科学への応用」(岩堀長慶 訳、岩波書店)は、解析学、幾何学、物理数学のかなり豊富な題材を含んでいます。 今回はとりわけ微分方程式への応用を中心とした7章、余裕があれば前学期の発展として微分幾何への応用からトピックスを選ぶ予定です。
  心づもりとしては、今年度中に調和積分、Lie群への応用まででこの講座は一段落と考えています。 どちらかというと深くではなく将来の基礎素養として、ここで展開される事実と型を学んでおきたいと思います。
項目
  1. イントロダクション
  2. 調和関数に関するPoissonの積分公式とLiouvilleの定理
  3. 熱方程式の一意性
  4. 積分定理、Frobeniusの定理
  5. トピックス
日付 隔週土曜日・全3回
  7/6、 7/20、 8/3
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数I
線型空間、実在と表現
レベル 初級
内容 〔2013/5/31更新〕 代数の役割は、数学・物理学をはじめとする諸科学の計算可能な言葉を創ることです。その中でも、抽象線型代数は基本的で様々な分野の記述に現れてきます。 例えば道を線型化する。基本図形の線型化。微分の空間、関数空間などなど。 実用的でないか?とんでもない!現実の微積分は座標化された線型代数そのものです。そして究極の線型代数は作用素環というわけです。
  抽象線型代数は、一般位相と並び最も基本的で根源的な数学的対象の表現手段です。抽象を道具として使いこなす現代的な数学では、この部分への習熟は当然の前提です。 そのような意識のもとで教程が作られています。数学工房の講座は、入門的な講座を除いては抽象線型代数の基本のある程度の習熟を仮定しています。
 
  上に述べた目的のため、線型空間論は有限次元特有の問題を除いては、無限次元で使える形で述べられています。また座標の概念や双対の取り扱いに特徴があります。 学部で線型代数を学ばれた方でも、道具として線型代数を使いこなす立場からの学び直しをおすすめします。
項目
  1. 線型空間 定義と典型空間
  2. 部分空間の演算
  3. 生成される線型空間、直和
  4. 線型独立・線型従属
  5. 次元、基底、座標
日付 隔週日曜日・全4回
  5/19、 6/2、 6/16、 6/30
時間   14:00−17:30
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講座名 MB. 解析学のための多様体入門IV
多様体上の向き付け、積分
レベル 初級・中級
内容 〔2013/7/11更新〕 今学期は全2回なので、多様体の向き付けと体積要素、多様体上の積分に焦点を絞ります。 局所的には、n次元Euclid空間の領域でのRiemann積分そのものです。 問題は、どうやって向きを保つように積分を貼り合わせるかです。
  Stokesの定理やRiemann多様体上の調和解析などは次の機会をお待ちください。
項目
  1. 線型空間の向き付け
  2. 多様体の向き付け
  3. 多様体上の積分
  4. 体積要素と体積要素に関する積分
日付 隔週土曜日・全2回
  7/13、 7/27
時間   14:00−18:00
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 2012年度 春期集中セミナー
入門・初級
代数学と解析学特論 直交多項式 5月3日(金・祝)
4日(土・祝)
初級
応用線型代数特論
2次形式と対称変換の解析学、特異値、特異ベクトル
4月20日(土)
21日(日)
中級
位相線型空間 Duality序章 5月6日(月・祝)
フリー
数学の楽しみ
円分多項式・Fibonacci多項式
4月27日(土)

〔料金について〕
  • 2日間の集中講座は、¥16,000(会員)、¥12,000(学生会員)です。
  • 1日の集中講座は、¥10,000(会員)、¥8,000(学生会員)です。

 
講座名 応用線型代数特論
2次形式と対称変換の解析学、特異値、特異ベクトル
レベル 初級
内容   2次形式と2次形式で定まる対称変換は、純粋、応用数学を問わずいたるところに現れます。Gram行列も然りです。 それらの概念の働き、必然性を内積空間の枠組みで明確に理解しましょう。
  また、なぜ特異値と特異ベクトルなのか? これらが、内積空間の間の線型写像に属する幾何学的特性量で線型写像を定めるものであることを通じて、 その意義を内在的に理解してください。
  尚、応用と幾何学からのトピックスを付け加える予定です。
項目
  1. 内積空間上の作用素のクラス
  2. 作用素の構造、Adjoint
  3. 2次形式と対称変換
  4. 特異値と特異ベクトル
  5. 応用
日時   4月20日(土) 14:00−18:00、
  4月21日(日) 11:00−16:00
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講座名 数学の楽しみ
円分多項式・Fibonacci多項式
レベル フリー
内容   もともと代数学演習で取り上げると予告しながら実現しなかった講座です。 1のn乗根の作る群の生成元で定まるのが原始多項式で、この多項式による分解によって、 Fibonacci型の多項式たちは共通の美しい乗法的な性質を持ちます。
項目
  1. 〔Introduction〕 Fibonacci数の一般化
  2. n乗根の作る群と原始多項式
  3. Fibonacci型多項式の美しい乗法的性質の根拠
  4. トピックス
日時   4月27日(土) 13:00−18:00
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講座名 代数学と解析学特論 直交多項式 レベル 入門・初級
内容   有界測度による平均2乗距離による多項式近似の一般論を展開します。 内積空間の理論の典型的な応用です。時間が許せば、Padé近似等との関係も取り上げたいと考えています。
項目
  1. 直交多項式の定義と基本的な性質
  2. 直交関数系と核関数、Fourier式展開
  3. 直交関数の零点分布
  4. トピックス
日時   5月3日(金・祝) 14:00−18:00、
  5月4日(土・祝) 11:00−16:00
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講座名 位相線型空間 Duality序章 レベル 中級
内容 〔2013/5/2更新〕 抽象的であることは、実際的なことでもあります。与えられた何らかの具体的な対象の作る位相線型空間があるとき、 問題、用途に応じて見かけの異なった双対の実現を用いることが、しばしばあります。そのような状況の自然な概念化がDual Systemです。
  Dual Systemの取り扱いは、現代的な位相線型空間の理論の要になっています。前学期の後半に双対空間のS-位相を扱いましたが、 これは、位相線型空間があらかじめ与えられたときに、連続線型形式の作る双対空間の位相を手短に知るために特別な場合を取り上げたのです。 今回は、このあたりの重要さと分かりにくさを(かなり深刻に見えます!)踏まえて(この辺はこの方面の玄人を目指す人にとっても難所だと思われます)、 Bipolar Theoremを含めて、Dual Systemと弱位相の基本事項のみを丁寧に扱います。
項目
  1. Dual System
  2. Polar set, Polar topology
  3. Bipolar Theorem
日時   5月6日(月・祝) 11:00−17:00
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 2012年度 春学期講座
入門
IA 解析教程IV
ID 初等線型代数と多次元空間における微積分III
IF 数学の基本語彙と文法
初級
EA 距離空間と解析序説III
G 抽象線型代数III
内積空間の幾何学と作用素のクラス
初級・中級
IE 位相線型空間(HAHN-BANACHの定理)
IS 代数函数論を読む その3
EB Euclid空間での外微分の応用
中級
MB 解析学のための多様体入門III
多様体上の微分形式と外微分
MC 複素多様体と多変数複素関数論II

〔料金について〕
  • 各講座とも、一括前納が原則です〔¥30,000(学生 ¥21,000)〕。 その他のお支払方法については、事前にお申し出があれば対応しますので御相談下さい。

 
講座名 IA. 解析教程IV レベル 入門
内容   前学期までの結果を受けて、関数項の級数のまとめから入ります。その結果を用いて、 古典解析学の根幹である、冪級数の理論と応用として初等超越関数、特に円関数から派生する関数たちを扱います。 最後は剰余付きTaylor公式とその若干の応用を予定しています。
  連続講座としての解析教程はこの辺で一旦終了いたします。この水準の素養を仮定して、 様々なトピックスを短めの演習講座の形で提供する予定です。
項目
  1. 関数項の級数まとめ
  2. 冪級数の理論
  3. 冪級数で定義される関数(実解析関数)
  4. 剰余付きTaylor公式と応用
日付 隔週日曜日・全6回
  1/27、 2/10、 2/24、 3/10、 3/24、 4/7
時間   11:00−13:00
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講座名 ID. 初等線型代数と多次元空間における微積分III レベル 入門
内容   多次元空間の幾何学は、多変数の微積分と同時に現れました。初等線型代数は多次元空間の代数化です。 本来、この三者は三位一体のものです。多様体のような純粋数学だけでなく、応用数学に登場する諸量の意味の理解にもつながっています。
  さて今学期は、多変数実数値関数の高階微分を扱います。付随して、内在的にベクトル解析等に現れる諸量やヘッセ行列などを扱います。 剰余付きTaylor公式とその用法を取り扱います。微分のテンソル表示が取り扱われるのも本講座の特徴です。
 
  多様体上の微積分は本講座の精密化と洗練に他ならず、また今回の内容をよく見ると、 微積分の理論の自然な枠組みとしてBanach空間が現れることが理解できるでしょう。
項目
  1. r回連続微分可能な関数のクラス
  2. グラージェント、ダイバージェンス、Hessian、Laplacian
  3. 高階微分とテンソル表示
  4. 剰余付きTaylor公式
  5. 極値
日付 隔週日曜日・全6回
  1/20、 2/3、 2/17、 3/3、 3/17、 3/31
時間   11:00−13:00
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講座名 IE. 位相線型空間(HAHN-BANACHの定理) レベル 初級・中級
内容   秋学期の講座IEでは、局所凸空間の一般論の概略を学びました。今学期は、 Baireのカテゴリー定理と並んで関数解析における最も根源的な定理であり、 使ってはいてもなかなか正体のわかりにくいHahn-Banachの定理を、なるべく幾何学的に目に見えやすい形で取り扱います。 また、時間があれば、具体的な関数空間の構成にしばしば有用な位相線型空間の帰納極限と射影極限を取り扱う予定です。
  なお、Baireのカテゴリー定理は、今学期の講座EAで取り扱います。
項目
  1. Hahn-Banachの定理の幾何学的表現と解析的表現
  2. 幾何学的定理の証明
  3. Hahn-Banachの定理の解析への応用の基本の型
    1. 近似問題
    2. 存在の問題
    3. 分離の問題
  4. 〔補充〕 Inductive Limit Topology, Projective Limit Topology
日付 隔週土曜日・全3回
  1/19、 2/2、 2/16
時間   14:00−18:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法 レベル 入門
内容   自分の力で数学をやろうとすれば必ず身につけておかねばならぬ部分です。 演習を通して基本事項を確認していきます。まさに基本素振りなのですが実はこの部分は、同じに見えても力量の差がすごく出るのです。
項目
  1. 集合と論理
  2. 写像
日付 隔週土曜日・全6回
  1/26、 2/9、 2/23、 3/9、 3/23、 4/6
時間   11:00−13:00
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講座名 IS. 代数函数論を読む その3 レベル 初級・中級
内容 〔2013/3/13更新〕 今回は、PoincaréKleinによって拓かれた、 群論的なRiemann面の理論、被覆Riemann面とRiemann面の分類、標準型の話に入ります。
  任意のRiemann面に対して単連結Riemann面が存在して、この面上の解析的自己同型群の不連続変換群(これをPoincaré群という) によるコセット空間として、始めの面は表示されます。この単連結Riemann面を単連結被覆面と言います。 また同値なRiemann面はこの観点からすると、Riemann面の分類問題は、すべての単連結Riemann面とその上の解析的自己同型群の不連続変換群を 研究するという群論的な問題になります。しかも、単連結Riemann面は、Riemann球、全複素平面、単位開円板のどれかに同型になるのです。
 
  この講座は、代数函数論(岩澤健吉著、岩波書店)の第3章 5節、6節 172p−202pに該当する内容です。
項目
  1. 被覆多様体
  2. 被覆面
  3. 単連結Riemann面と標準型
日付 毎週日曜日・全4回
  3/17、 3/24、 3/31、 4/7
時間   14:00−17:00
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講座名 EA. 距離空間と解析序説III レベル 初級
内容   夏学期、秋学期では距離空間とトポロジーのごく基本的なことを学びました。 今学期は、関数解析への展開を睨んで若干の補充をします。
  1.のBaireのカテゴリー定理は、Hahn-Banachと並んで最も根源的な定理で解析学のデリケートな問題にしばしば顔を出します。 2.では、開集合系の基、近傍の基、加算公理その他を扱い、3.では、フィルタの一般論に当てる予定です。
項目
  1. Baire Category Theorem
  2. 位相空間の一般論からの補充
  3. フィルタ
日付 隔週日曜日・全4回
  1/20、 2/3、 2/17、 3/3
時間   14:00−17:30
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講座名 EB. Euclid空間での外微分の応用 レベル 初級・中級
内容 〔2013/3/7更新〕 テンソル場や微分形式、外微分等が座標不変なことはご存知のとおりです。 それではその事実をどのように利用するのかを、今回は幾何の有力な手段である動基底を通して見てみましょう。
 
  微分形式を係数とする加群を扱うならテンソル積を作れば良いわけですが、 そういう抽象的な方法をとらずに微分形式係数の行列の算法から始めます。 第一部の最後は通常のEuclid空間の幾何の言葉で、外微分の形式的な関係式がどのように理解されるのか、 また曲面上のLaplace-Beltrami作用素に及びます。
項目
  1. 微分形式の行列算法
  2. 動基底と構造方程式、積分可能条件
  3. 基底のなす空間
  4. Hodge星印作用素
  5. Laplace作用素と直交曲線座標系
  6. 3次元Euclid空間における曲面
日付 隔週土曜日・全3回
  3/9、 3/23、 4/6
時間   14:00−18:00
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講座名 G. 抽象線型代数III
内積空間の幾何学と作用素のクラス
レベル 初級
内容   一般位相と並び現代数学の最も基本的な型稽古です。どの分野に進まれるにせよ必ず習熟すべき分野です。
  今学期は内積空間の一般論です。1.では、定義から始まり直交性、正射影定理、後半で線形形式の表現定理、近似定理、直交化を、 2.では、内積空間の作用素の一般論、作用素ノルム、adjoint、対称変換、正射影の代数 などを扱います。 ここまでの方法が自由になるだけでもどれほど多くの問題が明瞭になることか!
項目
  1. 内積空間の幾何学
  2. 内積空間における作用素のクラス
日付 隔週日曜日・全4回
  1/27、 2/10、 2/24、 3/10
時間   14:00−17:30
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講座名 MB. 解析学のための多様体入門III
多様体上の微分形式と外微分
レベル 中級
内容   今学期の主要テーマは、微分形式と、その外微分の構造をはっきりさせることです。 この講座は、次に多様体の向き付けと積分に向かっていきます。今学期の部分は、 応用解析に向かうにせよ幾何に向かうにせよもっとも基本的な標準装備です。
 
  幾何学的な応用に関心のある方は、講座EBで、Euclid空間限定ですが外微分の幾何への応用をやります。 微分形式や外微分の使い方の参考になるでしょう。
項目
  1. 共変テンソル場
  2. 共変テンソル場のLie微分と微分形式の外微分
  3. 写像による共変テンソル場の変換
  4. コホモロジー環
日付 隔週土曜日・全3回
  1/26、 2/9、 2/23
時間   14:00−18:00
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講座名 MC. 複素多様体と多変数複素関数論II レベル 中級
内容 〔2013/3/2更新〕 諸般の事情により、今学期は休講となりました。なお、内容はほぼ完成しているので、日を改めて通常あるいは集中セミナーの形で提供いたしますので、よろしくお願いします。
項目  
日付 休講
時間  
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 2012年度 冬期集中セミナー
入門
IF集中講座
総和記法(Σの用法)数学的帰納法
12月16日(日)
入門・初級
演習講座. 微分形式、外微分 1月12日(土)
13日(日)
初級
線型変換の構造と標準形、線型表現 12月22日(土)
23日(日・祝)
初級・中級
ノルム環の基礎1(作用素環入門) 1月5日(土)
新年会・懇親会:
新年会・懇親会 1月6日(日)

【2012/12/8更新】
  ただいま2013年会費(1月〜12月)¥3,000(学生 ¥1,500)の払込受付中です。 集中セミナーを受講される方は、セミナー受講料と同時にお支払いください。
  集中セミナーは、会費のお振込みがないと会員外の講座料になりますのでご注意ください。
 
〔料金について〕
  • 2日間の集中講座は、¥16,000(会員)、¥12,000(学生会員)です。
  • 1日の集中講座は、¥10,000(会員)、¥8,000(学生会員)です。
  • 「新年会・懇親会」の会費は¥2,000です。

 
講座名 IF集中講座
総和記法(Σの用法)数学的帰納法
レベル 入門
内容   数学を本格的に学ぶ際に身に付けなくてはならない必須の素養です。 言うまでもないことですが、数学は問題の解答の処方集でもなければ、一般的な意味での教養ではありません。 当然、用いられる言語に対する技術的習熟が求められます。 数学的帰納法とΣ記号は、実際の数学の展開の中で様々な形で頻繁に現れます。 その重要さにも関わらず、学校数学のなかでは漫然と扱われることが多いので、 数学工房では例外的な方を除いて、他の講座をとられる前に、この部分を学び直すことをおすすめしています。
 
  前学期まで講座IFは、通常コースで
  1. 総和記号と数学的帰納法
  2. 集合と写像
を扱っていましたが、ご自分の手を動かして演習しながら身に付けて頂くためには駆け足の感がありました。 ここはどんな分野を学ぶにしても基礎となるので、完全にマスターしていただくため、2. を通常コースに、 1. は独立して集中セミナー用(これが本講座です)に編集し直しました。
鈴木桜子が担当します。
日時   12月16日(日) 11:00−17:00
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講座名 線型変換の構造と標準形、線型表現 レベル 初級
内容   今年度開講した講座G
  • 抽象線型代数I(線型空間 表現と実在)
  • 抽象線型代数II(線型写像、線型変換の構造論)
の補充と発展編です。従って線型空間、線型写像の基礎概念と基本的な性質は既知とします。 一般に多変数解析学、関数解析、多様体などは無論のこと、表現論や作用素環などを学ぶ前に、 この程度の素養はあったほうが良いでしょう。Jordan標準形の意味を含みます。
項目
  1. 補充と準備
  2. 射影の代数
  3. 多項式空間とShift不変部分空間
  4. 線型変換の分解
  5. 標準形
  6. Topics
日時   12月22日(土) 14:00−18:00、
  12月23日(日・祝) 11:00−16:00
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講座名 ノルム環の基礎1(作用素環入門) レベル 初級・中級
内容   ノルム空間、Banach空間については既知として、複素ノルム環の位相代数としての基礎を、全く一般的な形で扱います。 関数解析、Lie群の表現論、作用素環等を学ばれたことのある方は、より、一般的な形でのまとめに、 初めての方は、位相代数の発展的演習としてご利用ください。
項目
  1. ノルム環 定義と例
  2. 正則元、擬正則元、位相的ゼロ因子、Banach環の指数、対数
  3. ノルム環のスペクトル
日時   1月5日(土) 11:00−17:00
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講座名 新年会・懇親会
内容   数学を通じての楽しい会員同士の交流の時間をお楽しみください。軽食・飲み物付きです。
  • お年玉講義「確率論におけるあるタイプの極限定理」 13:00−15:00
  今回は、講師の鈴木桜子の等身大の立場から、博士論文への取り組みを思い起こしてもらい、 数学的な内容の概要は無論ですが、率直に、テーマ発見のいきさつから博士論文が形になるまでの経緯を話してもらいます。
日時   1月6日(日) 13:00−17:00
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講座名 演習講座. 微分形式、外微分 レベル 入門・初級
内容   秋学期に、基礎図形の作る計量空間の発見をテーマとした全2回の演習講座を行いました。 今回も、講座IDに毛の生えた程度での精神で、直感と式の微妙な相互作用を楽しみましょう。 微分形式は、特別な型の微分方程式の問題の幾何学化にほかなりません。 本格的な多様体の講座では、優に1学期分の内容に当たるエッセンスの直感的な鍵を2日間で取り扱います。
項目
  1. 微分形式の概念
  2. 微分形式の引き戻し
  3. 外微分と外微分の不変性
  4. Poincaréの補題
  5. トピックス、演習
日時   1月12日(土) 14:00−18:00、
  1月13日(日) 11:00−16:00
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 2012年度 秋学期講座
入門
IA 解析教程III
ID 初等線型代数と多次元空間における微積分II
IF 数学の基本語彙と文法
IH 微分形式 その物理科学への応用
(Flandersの名著に挑戦)
入門・初級
演習講座 外積代数入門
「基礎図形の作る計量線型空間の発見
 代数化と双対への埋込みへの手ほどき」
初級
EA 距離空間と解析序説II
G 抽象線型代数II
線型写像、線型変換の構造論
初級・中級
IE0 位相線型空間特論
有限余次元、コンパクト、プレコンパクト
IE 局所凸空間概論
IS 代数函数論を読む その2
EB 現代ベクトル解析
テンソル場の理論
MB 解析学のための多様体入門II
ベクトル場、計量、流れ
中級
MC 複素多様体と多変数複素関数論I

【2012/10/8更新】
〔講座について〕
  • IF、IE、MCは、今学期新規開講の講座です。
  • IE0は、1回講座です。
  • 諸般の事情により講座IHおよびEBは休講となりました。その代わりに,演習講座「外積代数入門 『基礎図形の作る計量線型空間の発見 代数化と双対への埋込みへの手ほどき』」を開きます。
〔料金について〕
  • 一括前納が原則です。各講座は、一括前納の場合¥30,000(学生 ¥21,000)です。ただし、講座IE0は¥10,000(学生 ¥8,000)、演習講座は¥20,000(学生 ¥14,000)です。
  • 各回払いの場合は、全6回講座では¥5,000/回、全4回講座では¥7,500/回、全3回講座では¥10,000/回です。演習講座は¥10,000/回(学生 ¥7,000/回)です。 受講にあたっては、別途テキスト代¥2,000(学生 ¥1,000)が初回受講時にかかります。
〔キャンセル規定〕
  • 原則として、「開講6日前まで」は事務手数料¥1,000のみお支払ください。 「5日前から前日まで」は事務手数料¥2,000、テキストをお渡し済の場合はプラス¥1,000(合計¥3,000)となります。 当日のキャンセルは第1回分の講座料の50%です。開講後はお返しできません。
講座名 IA. 解析教程III レベル 入門
内容   閉区間上の有界関数の上積分、下積分から始まりRiemann可積分の一般論を扱う。 特に、その中のまとまりの良いクラスとして連続関数のクラスと強力な代数化として微積分の基本定理を扱います。
  この講座の基本は、アドヴァンストコースとのつながりを意識して、極めて体系的に作られているが、 同時に、発見的な側面の重要さを忘れて欲しくないと思い自然対数関数の発見の章を加えました。 後半は関数列、関数項の級数の収束が主題です。 ただし、取り扱う内容の分量と近づきやすさを考慮して、必ずしもすべての内容を厳格に扱う事はしません。
  いつも申し上げていることですが、一般位相や、解析学の各種概念の雛形、構成法の多くの原型は既に微積分のこの段階に見ることができます。 漫然とした、勉強ではなく、高い質の稽古を目指してください。
項目
  1. Riemann積分と微積分の基本定理
    1. Riemann積分
    2. 連続関数のRiemann積分
    3. 微積分の基本定理
  2. 自然対数関数の発見
  3. 関数列、関数項の級数、一様収束
    1. 級数概論
    2. 関数列、関数項の級数、一様収束、正規収束
    3. 冪級数、冪級数で表示される関数
日付 隔週日曜日・全6回
  9/23、 10/7、 10/21、 11/4、 11/18、 12/2
時間   11:00−13:00
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講座名 ID. 初等線型代数と多次元空間における微積分II レベル 入門
内容   微積分は本来無限小の解析幾何学で、無限小部分を記述する手段が線型代数と言える。この事実は17世紀の解析学の発生以来変わらない。 19世紀の多変数解析学の進展と並行して多次元空間の初等幾何、線型代数の発見、研究が始まったのである。
  本来、微積分、多次元空間の初等幾何学、初等線型代数は、同時に学ぶべきものである。 純粋応用を問わず、本格的な数学を志す事前の素養としておすすめします。 後期解析教程や多様体を学ばれる前に、抽象線型代数や抽象位相と同様にウォームアップとして学ぶべきことです。
項目
  1. 体積形式の存在と行列式、交代形式
  2. 線型変換の行列と行列式、sgn再論
  3. 領域上の積分
  4. 写像の微分とJacobi行列
  5. 積分の変数変換
  6. いくつかの基礎積分
日付 隔週日曜日・全6回
  9/30、 10/14、 10/28、 11/11、 11/25、 12/9
時間   11:00−13:00
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講座名 IE 0. 位相線型空間特論
有限余次元、コンパクト、プレコンパクト
レベル 初級・中級
内容   位相線型空間(TVS)の一般論で、連続線型写像、TVSの準同型、商空間、位相的内部直和、外部直和 等を扱いましたが、 そのなかで「補空間が有限次元の特別な場合(これは応用上も最も重要な場合ですが)」に限定して詳細に扱います。 また、コンパクトとプレコンパクト・完備の関係について補充をする予定です。直和や商空間の概念をよく理解したい方にはお勧めです。
項目
  1. 有限次元Hausdorff位相線型空間
  2. 有限余次元Hausdorff位相線型空間
  3. 演習
  4. TVSにおけるコンパクト性、プレコンパクト、完備性
日付 1回講座
  9月22日(土)
時間   14:00−18:00
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講座名 IE. 局所凸空間概論 レベル 初級・中級
内容   一通り初級以上の講座を学ばれた方、あるいは同等の水準の方が、それまでの知識を総合して生きた道具にするのをお手伝いする講座の一つです。 言うまでもないことですが、ある数学を本当に理解する、自分のものにするというのは、一度本を読んだ、セミナーに出た、講義に出たからOKとはならないのです。 様々な状況で主体的に基礎知識を応用して使ってみて初めて正体の見えてくるものと申せましょう。 またこの作業を通してご自分が理解していなかった部分もはっきりしてきます。その時はその部分を理解しなおすことはもちろんです。 数学に適した人とはこのようなことを飽きず、諦めずが楽しくできる人であることだと思います。
 
  ところで凸性の解析は、解析学の基礎としてのTVSの主要なテーマです。十分にたくさんの凸集合を持つのが局所凸空間です。 内容豊かな解析学の基礎理論を展開するには、位相線型空間の一般論はあまりにも広すぎ、逆にBanach空間は、狭く必ずしも自然ではない、 という理由で一つの研究領域になっています。
  本講座では、線型代数、一般位相へのある程度の習熟は期待します。また位相線型空間の概略の知識は期待します。
項目
  1. セミノルム、連続セミノルム、連続セミノルム基底
  2. 連続線型写像、フィルタ、ネットのセミノルムによる特徴づけ
  3. 部分空間、商空間、位相直和 への局所凸性の伝播
  4. LCVSの完備、プレコンパクト、コンパクト
日付 隔週土曜日・全3回
  10/6、 10/20、 11/3
時間   14:00−18:00
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講座名 IF. 数学の基本語彙と文法 レベル 入門
内容   本講座では、集合と論理、集合の演算、および写像を演習も交えてできるだけ系統的に扱います。
  集合と写像に関する基礎的な方法は、数学のあらゆる領域を展開する上に広く利用されます。 従って、それらの扱い方の技術的な素養はどの分野を学ぶにしても必要です。 集合を、その要素の持つ属性に注目して扱う場合、論理が重要な役割を果たし、 逆に論理は集合によって対象化されます。理解を助けるために、記号論理の基礎的な事項も扱います。 (担当 鈴木桜子)
項目
  1. 総和記号と数学的帰納法
  2. 集合論の概念、記号法、算法
  3. トピックス
日付 隔週土曜日・全6回
  9/22、 10/6、 10/20、 11/3、 11/17、 12/1
時間   11:00−13:00
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講座名 IH. 微分形式 その物理科学への応用
(Flandersの名著に挑戦)
レベル 入門
内容 〔2012/09/17更新〕 今のところご希望がありませんので、残念ながら今学期は休止します。 Flandersの「微分形式」は本当におすすめできる一冊ですので、機会を改めて取り上げる予定です。
項目  
日付  休講
時間  
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講座名 IS. 代数函数論を読む その2 レベル 初級・中級
内容 〔2012/11/13更新〕 Riemannの複素関数論の基礎づけに現れた画期的アイデアは、 (現在ではRiemann面と呼ばれる)多様体上に非自明な解析関数が存在することを示し、そこから代数関数論を建設する途を拓いたのです。
  極めて直感的なRiemannの仕事を現代の基準で正当化したのが、H.WeylのDie Idee der Riemannsche Flaeche です。 基本的な考え方は、複素関数を実2次元ベクトル場として、可側実2次元ベクトル場の実Hilbert空間を用いて、 与えられた特異性を持つ調和関数の存在を示す。そこから解析関数ができるわけです。岩澤健吉先生の著書に沿ってこの部分を扱います。 ただし、この部分の主要部は定式化と結果を述べるにとどめるつもりです。その帰結として、Riemann面上に現れる解析関数を丁寧にあつかいます。
 
  Riemann面上の調和関数の存在については、講座MB「解析学のための多様体入門」の コンパクト多様体上の調和形式 において取り扱うことになっています。 また、開Riemann面については、講座MC「複素多様体と多変数複素関数論」の中で一般的なかたちで確立する予定です。
項目
  1. 用語・基本概念・基本的な結果の復習
  2. Riemann面における解析関数、微分の存在
    1. Riemann面上のベクトル場
    2. 可測ベクトル場
    3. Cr級ベクトル場、グラージェントベクトル場、ダイバージェンス
    4. Riemann面上の可測ベクトル場のHilbert空間
    5. Riemann面上の調和ベクトル場
    6. 主定理
    7. Riemann面上の解析関数体
  3. 被覆面
日付 毎週日曜日・全4回
  11/18、 11/25、 12/2、 12/9
時間   14:00−17:30
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講座名 EA. 距離空間と解析序説II レベル 初級
内容   抽象線型代数と並び最も基本的な現代数学のための型稽古です。本講座の特徴は、実際の解析学の展開の中でつまづきやすい問題点に注意を払っています。 例えば、本格的な解析学では相対位相が大きな役割をしますが、これは意外にわかりにくいものです。そこで一つの節を当てました。
  また微積分での区間、関数論で領域(連結開集合)がなぜ別格の位置を占めるかなどを明確に示すようになっています。 ここで扱われる知識はもとより重要ですが、現代数学の抽象の方法も学んでください。抽象線型代数と同様に、ここで扱われる内容は学んだからといってすぐに本当にわかるものではありません。 具体的な将来の本格的な数学の実践の中で鍛えていくものです。
項目
  1. 相対位相と部分距離空間
  2. 連結性
    1. 局所定数関数
    2. 連結性の基本的性質
    3. Euclid空間の連結開集合
    4. 連結成分
    5. 局所連結空間
  3. コンパクト性
    1. Heine-Borelの性質・有限交叉性
    2. コンパクト性についての基本的結果
    3. コンパクト集合の連続像
    4. コンパクト集合上の連続関数
日付 隔週日曜日・全4回
  9/30、 10/14、 10/28、 11/11
時間 〔2012/10/12更新〕 第1回目(9月30日)は、台風による臨時処置として14:00−17:30の予定を1時間半短縮いたしました。 その分を各回に振り分け、第2回目(10月14日)より、時間を14:00−18:00に変更いたします。
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講座名 EB. 現代ベクトル解析
テンソル場の理論
レベル 初級・中級
内容 〔2012/10/4更新〕 諸般の事情により、今学期は休講となりました。
項目  
日付  休講
時間  
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講座名 G. 抽象線型代数II
線型写像、線型変換の構造論
レベル 初級
内容   線型空間論の基本的な知識は前提として、線型写像、線型変換の一般論を学びます。 ここでの取り扱いは、自然に多様体の概念構成や作用素論等に結びつくように作ってあります。 無論ここで学んだことを使いこなすことは、本当に理解することはそう簡単ではありません。 覚えれば良いというものでないからです。 残念ながら、みなさんも気づかれておられるでしょうが、実際ちゃんと使いこなせる人は少数派です! そのために今年の夏の「線型空間とは何か?」というような集中講座の形で、 比較的初歩的な材料で線型代数のコツ、技術の向上を図る講座を提供するつもりです。
項目
  1. 線型写像
  2. 双対基底、座標写像、双対空間
  3. 行列表示と座標変換
  4. 線型変換
  5. 射影と直和
日付 隔週日曜日・全4回
  9/23、 10/7、 10/21、 11/4
時間   14:00−17:30
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講座名 MB. 解析学のための多様体入門II
ベクトル場、計量、流れ
レベル 初級・中級
内容 〔2012/11/07更新〕 今学期はベクトル場と微分作用素から始まります。
*先に、テンソル場から開始するとお知らせいたしましたが、夏学期の進度について誤認がありました。 夏学期は部分多様体まで終わっており、今回はベクトル場と微分から開始のはずでした。私の錯覚でご迷惑をおかけしました。(桑野耕一)
項目
  1. ベクトル場と微分作用素
    1. ベクトル場
    2. ベクトル場の作る加群
    3. 微分作用素としてのベクトル場
  2. 代数語からの補充
  3. ベクトル場とLie微分
    1. Lie微分
    2. Lie環
    3. 多様体上のベクトル場のLie環としての構造
    4. 微分同相から持ち上げられるLie環の自己同型
  4. 多様体上のテンソル場
日付 隔週土曜日・全3回
  11/10、 11/24、 12/8
時間   14:00−18:00
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講座名 MC. 複素多様体と多変数複素関数論I レベル 中級
内容 〔2012/11/13更新〕 今回は基礎編です。可微分多様体の基本事項・定義から、 接空間、多様体間の可微分写像あたりまでを初めに復習します。
  複素多様体の要点は、偶数次元の実多様体で接空間が1点に作用する複素数値の微分作用素全体と同一視されるのだから、 実接空間を複素化すれば良いわけです。 複素多様体の準備の後、講座ISと共通の問題、非自明な解析関数を十分にたくさんもつ複素多様体の特徴づけに向かいます。
項目
  1. 可微分多様体について
  2. 実ベクトル空間の複素化
  3. 複素N次元アフィン多様体についての基本事項
  4. 複素多様体
    1. 定義
    2. 正則関数
    3. 接空間と双対
    4. 概複素構造
    5. Hermite計量
日付 隔週土曜日・全3回
  11/17、 12/1、 12/15
時間   14:00−18:00
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講座名 演習講座. 外積代数入門
「基礎図形の作る計量線型空間の発見
 代数化と双対への埋込みへの手ほどき」
レベル 入門・初級
内容 〔2012/10/8更新〕 数学の理論は突然天下りに発明されるわけではありません。外積代数の作られ方を例として、半ば発見的に、直観的に諸量を計算しつつ、 有限次元の計量線型空間上の外積代数の実在を素朴な形で認識し確立することです。この過程で、面白い行列式の関係式がたくさん出てきます。 ここで学んでいただきたいのは、直観と代数の持つ抽象性、客観性の相互作用です。このようにして出来上がった理論の数学的実在を最後に論じます。
  ところで、Cauchyの仕事には既にそのようなアイデアが見られます。 そこで、Cauchy-Lagrange恒等式の研究から始めましょう。線型代数へのある程度の習熟は期待します。
項目
  1. イントロダクション Cauchy-Lagrange恒等式の拡張から始めよう
  2. p-ベクトルの空間の算法
  3. 行列式、外積、線型変換とp-ベクトル
  4. p-ベクトル間の内積
  5. 星印作用素
日付  隔週土曜日・全2回
  10/13、 10/27
時間  14:00−18:00
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 2012年度 夏期集中セミナー
講座名 Advanced Linear Algebras
テンソル空間、交代形式、対称形式 (初級・中級)
内容   解析学や幾何学にはさまざまなタイプの積が現れる。そのような一般的な積を体系的に計算することが 問題になる。例えば、多様体上に高階の微積分を展開するにはどうするのか、 また多様体上の解析的、あるいは幾何学的なオブジェクトを適切に定義し系統的に計算する、 多重線型代数(テンソル代数)はこのようなタイプの問題への系統的な見通しの良い基礎を与えるものと いえよう。
  抽象線型代数の基礎概念(例えば、基底、次元、行列表現等々)、 多変数の微積分の基本についての知識、抽象的な論法についての馴染みは期待する。 数学工房の講座で言えば、講座G 抽象線型代数と同程度の知識です。 初級レベルの代数の発展的な復習として、また、多様体や関数解析学、現代代数学、 幾何学への予備知識、準備として手頃かと思います。
項目
  1. 多重線型写像
    1. p 重線型形式
    2. 多重線型形式の線型空間
    3. 多重線型形式のテンソル積
  2. 共変テンソル空間
    1. 共変テンソルの一般論
    2. 対称群の作用
    3. 対称共変テンソル
    4. 交代共変テンソル
    5. 対称作用素、交代作用素
  3. 外積代数
日時 8月11日(土) 14:00−18:00 8月12日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

講座名 数学の基本語彙と文法 インテンシブコース (入門)
内容   仕事の都合あるいは遠方であるとの理由で「通常講座IF に参加しにくいので、集中セミナーでやってほしい」というご要望が 前々からあったため、この講座を設けました。
  この講座は、IFの後半部分で扱う「集合の代数と写像、写像の像、原像の取り扱い等」に内容を短縮して、2日間の集中にまとめたものです。
  どのような分野を学ぶにせよ必要最低限の技術的知識です。この部分に難点があると 本格的に数学に取り組む際につまづきの石になりますので、この機会に是非とも受講されることをおすすめします。 この部分の基礎的なスキルを実際的な局面で自由に使いこなせるようになることはもう一段上の問題です。 鈴木桜子が担当します。
項目
  1. 集合論からの概念と記号法
    1. 集合の算法
    2. 写像の像と原像
    3. 写像の算法
  2. トピックス
日時 8月18日(土) 14:00−18:00 8月19日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

講座名 線型空間とは何か (入門)
内容 〔2012/08/24更新〕 初めは体系的に多項式空間を取り扱うつもりでしたが、少し考えが変わって、 多項式を題材に線型空間の理念をどのように取り扱うかをめぐる、緩やかなガイド付き散策の形式にしました。 立ち止まり考えつつ歩いてもらいます。イントロダクションは、解析学の最も古い形である多項式補間から始まります。
項目  
日時 8月25日(土) 14:00−18:00 8月26日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

講座名 Schwarzの補題からPicardの定理 へ
(複素多様体入門)  (初級・中級)
内容 〔2012/08/30更新〕複素関数論で、Liouvilleの定理やSchwarzの補題、そして Picardの定理を初めて学んだ時の不思議さは忘れられない。 Cauchyの積分公式から出発して順を追って定量的評価を繰り返せば、とにかくこの美しい結果が得られることは理解できる。 ではその内在的な理由は何か?まもなく、微分幾何と複素関数論の合同の研究会に先輩に誘われた。 そこでは、小林昭七先生の「Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings: An Introduction 」を購読していたのである。 負の曲率をもつ複素多様体(双曲多様体)の幾何の問題として、SchwarzやPicardの結果が 自然な解釈ができるというのである。
  それから私は何を勉強したのか、この研究会がどうなったか全く記憶にないが、その新鮮な驚きだけを 覚えている。最近そのことをふと思い出すことがあり、もう一度そのあたりのことを複素多様体の入門として まとめようという気になった。そのときめきが伝えられるかどうかは自信がないが、 素晴らしいハイキングコースの展望台までご案内できればと思う。
 
  構想を改めて、1変数の幾何学的関数論の入門部分を丁寧に解説しました。 関数論の基礎をひと通り学ばれた方、これから複素多様体を学ばれる方におすすめです。
[参考] L.V.Ahlfors Conformal Invariants McGraw-Hill, Complex Analysis McGraw-Hill,
S.Kobayashi Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings: An Introduction World Scientific
項目
  1. イントロダクション
    1. Schwarzの補題のPickによる幾何学化
    2. Bergmann核関数
    3. Bergmann計量
    4. 円板上のBergmann計量と非Euclid距離
    5. [付録] 円板上の正則自己同型とSchwarzの補題
  2. 発展
    1. 擬エルミート計量とSchwarzの補題
    2. Picardの定理 へ
  秋学期講座 複素多様体に続く
日時 9月1日(土) 14:00−18:00 9月2日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

講座名 位相線型空間におけるフィルタとネット (初級・中級)
内容 〔2012/09/04更新〕今年度と来年度は、 作用素環に関連した基礎講座を充実することに心がけている。 フィルタやネットの一般論は今までも取り上げたことがあるが、 フィルタの空間そのものを体系的に取り上げたことはない。 位相線型空間の完備化を、Cantorの有理数から数直線を得るメソッドに パラレルに実行しようという目論見で、Cauchyフィルタの 代数系を整備してみたことがきっかけで、もう一度全体をまとめることにした。
  一般位相、線型代数、また抽象的な議論の仕方にはある程度の習熟を仮定している。 位相と線型代数のadvanced コースとして、作用素環等に興味のある人におすすめする。
 
  ネットは、極めて純朴な列の一般化であり直感的であるが、内在的な取扱いがしにくい。 私感では、ネットたちそれ自体を数学化しにくい気がします。 それに対して、フィルタは基礎空間から集合論的解析学のスタンダードな構成法により得られます。 慣れればなんでもないのですが、欠点はいかにも人為的なことです。 基礎的な部分では、なるべくネットとフィルタをパラレルに並べて取り上げることにしました。
項目
  1. フィルタとネット概論
  2. 位相線型空間の概念
  3. 位相線型空間上のフィルタ
    1. 線型空間上のフィルタの代数
    2. Cauchyフィルタの代数とゼロフィルタ
    3. Cauchyフィルタから生成される位相線型空間
    4. 埋込み定理
  4. トピックス
日時 9月8日(土) 14:00−18:00 9月9日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

講座名 幾何学と線型代数 行列式と初等幾何 (入門)
内容 〔2012/09/12更新〕通常講座「ID 多次元空間、初等線型代数と微積分」では体積形式の導入から始まり、 行列式、領域の体積、積分、変数変換公式という筋で進んでいくのだが、その際、 幾何学的に興味深いトピックスが色々あるのだが、無論取り上げる時間はない。 そこでこの機会に、普段は捨てざるを得ないいくつかのトピックスを扱う。 構想を固めるために本棚をひっくり返していたら、幾何学の故栗田稔先生から送っていただいた、 「初等数学15講」という素敵な小冊子が出てきた。(この中からいくつかの問題を 使わせていただくつもりである。)
 
  筋の良い基礎数学を身に付ける上でのポイントは、多次元の微積分、線型代数、多次元の初等幾何学を 三位一体のものとして学ぶことです。この集中セミナーは、通常講座IDの補充として、 3次元に限定して主に線型代数と幾何学からのトピックスを扱っています。無論短い時間ですから体系的な講座ではありません。 いくつかの概念と幾何学をめぐる散歩というイメージにしました。数学の理解のリフレッシュにご利用ください (このセミナーの内容で養われる感覚は当然、位相線型空間のようなアドバンストコースの基礎素養でもあります)。
項目
  1. Introduction
    1. 平面と線型形式の表現
    2. 3次元空間の体積形式と行列式
    3. 線型変換の行列式
    4. 演習
    5. 双対基底の表現
    6. ベクトル外積
  2. 幾何学からいくつかの問題
日時 9月15日(土) 13:00〜17:00
参加料 会員10,000円(学生8,000円)

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 夏学期講座(2012年度)
講座名 IA. 解析教程II ID. 多次元空間・多変数の微積分と初等線型代数 T
内容   春学期から始まった新教程です。本格的な解析学への基礎を扱っています。 扱いは全体として現代的になっています。初級中級で扱うことになる現代的な解析学の基本の雛型は この部分にあります。今年度直接関連する講座としては、ID、EB、MBなどがあります。
  今学期は古典的微積分の基礎を扱っています。来学期はこの結果を踏まえて、まず収束級数の一般論を展開し、 関数項の級数の一般論と古典論の中心である初等超越関数を取り扱います。
  多次元空間は多変数の微積分とともに出現し、解析学が展開される場として19世紀の半ば RiemannやGrassmannの半ば哲学的な性格を持つ見通しに従って研究が始まり19世紀の後半には、 数学者にはポピュラーなものになります。そして線型代数は、数論や幾何学、解析学に組織的な取り扱いの方法を与えます。 そして20世紀前半になると無限次元の関数空間が現れ、さらに統一原理として抽象線型空間が現れます。
  この講座の目的は、多変数解析学の基礎と線型代数の結びつきを認識していただくことと、ベクトル解析や多様体への、 ステップを準備することです。 〔関連講座〕G、EB、MB
項目
  1. 連続性に関する3つの大域的性質
  2. 微分可能性と可微分関数の基本的性質
  3. C1級関数のクラス、局所定数関数
  4. 高階微分の概念 Cr級関数
  5. Riemann積分、微積分の基本定理
  6. Taylorの定理
  1. 数ベクトル空間
  2. 内積・直交性
  3. Euclid空間の初等幾何
  4. 線型部分空間、Span、独立、従属
  5. 行列と線型写像、微分
日付  5/20(日)、 6/3(日)
 6/17(日)、 7/1(日)
 7/15(日)、 7/29(日)
 5/13(日)、 5/27(日)
 6/10(日)、 6/24(日)
 7/8 (日)、 7/22(日)
時間   11:00−13:00
  11:00−13:00

講座名 IE. 位相線型空間と関数空間 IF. 数学の基本語彙と文法
内容   抽象線型代数、抽象位相にはある程度の習熟を期待する。函数解析でしばしばあらわれる、 Banach空間にならない関数空間に親しんでもらうこと、また作用素環の代数的位相的部分の基礎素養を提供することを目的としている。 我々は純粋代数と位相のギリギリの相互作用を見ることになるだろう。附値体当も統一的に扱う。 Hilbert空間上の有界作用素の理論と並んで作用素環を学ぶ上での必須の素養である。
[参考] Schaefer Topological Linear space,
F.Treve 位相ベクトル空間・超関数・核,
宮島静雄 函数解析.
  どのような分野の数学をやるにせよ、現代の数学をやるには必須の最低限の技術的知識です。 それ以前の知識にかかわりなく、この部分に難点があるとご自分で本格的に数学をやる際の躓きの石になります (実際長年の経験ではこの部分が不確かな方が多い!)。この部分に十分に習熟されている例外的な方を除いては、 なるべく早いうちの履修をお勧めします。  
項目
  1. 位相線型空間の概念
    1. 位相線型空間の公理と直接の帰結
    2. 原点の近傍系
    3. 原点の閉近傍系とHausdorff性
    4. 位相線型空間の直積・部分空間・直和・商空間
    5. 有限次元位相線型空間
    6. 超平面・線型多様体
  1. 総和記号と数学的帰納法
    1. Σ
    2. 数学的帰納法
    3. 非順序和
  2. 集合論からの概念と記号法
    1. 集合の算法
    2. 写像の像と原像
    3. 写像の算法
  3. 変換群
日付  5/19(土)、 6/2(土)
 6/16(土)
 5/19(土)、 6/2(土)
 6/16(土)、 6/30(土)
 7/14(土)、 7/28(土)
時間   14:00−18:00
  11:00−13:00

講座名 IH. 無限の作法 IS. 代数函数論を読む その1
(岩澤健吉 代数函数論〔岩波書店〕から)
内容   IFの続編で数学の様々な分野で用いられる無限に関係する有用な基礎論法を取り扱う。 IF同様、理解し使いこなすことが重要!   〔2012/06/20更新〕本来の計画通り第3章から開始します。ただし、第4節 解析関数の存在定理 は概略にとどめます。 予備知識としては関数論の基本的なこと(例えば,複素解析(基礎数学8) 高橋礼司 東京大学出版会 第1章〜第4章程度)、 IF、ID、および線型代数と一般位相の極く基礎的な内容は仮定します。
[テキスト] 岩澤健吉 代数函数論 第3章 岩波書店
[参考書] Remmert Theory of Complex Functions Springer,
高橋礼司 複素解析(基礎数学8) 東京大学出版会,
中井三留 リーマン面の理論 数学全書15 森北出版,
Forster Lectures on Riemann surfaces Springer
項目
  1. 集合の対等と濃度
  2. 可算集合・非可算集合
  3. Zorn の補題
  4. 無限次元線型空間とHammel基底
  5. 非可測集合の存在
  1. Riemann面と解析的写像 125p〜133p
  2. Riemann面における函数 133p〜137p
  3. Riemann面における微分と積分 137p〜147p
  4. 解析関数の存在定理概説 147p〜172p
 
日付  5/18(金)、 6/1(金)
 6/15(金)、 6/29(金)
 7/13(金)、 7/27(金)
 6/24(日)、 7/8(日)
 7/22(日)、 8/5(日)
時間   19:00−21:00
  14:00−17:00

講座名 EA. 距離空間と位相空間序説T EB. 現代ベクトル解析
内容   昨年度は、開集合系からフイルターまで抽象位相を通年3期にわたって扱った。 今期は通常の応用では最も頻繁に現れる距離空間に焦点を絞る。 第3期には基本的な関数空間と解析学の基本原理である Baire Category 定理とその応用を扱う。
  位相と線型代数は解析学の基本原理です。にもかかわらず、最も学び難いものでもあります。 先の講座に行かれる方、お仕事で応用解析を目指す方はこの講座で学んで置かれる事をお勧めします。 〔関連講座〕IE、EB、MB
  春学期では多変数の高階微分、Taylor公式、多変数の極値・臨界値まで丁寧に扱った。 今回はその続編である。参考書をあえて1冊あげるなら、現代ベクトル解析(岩波)の第8章。
項目
  1. 距離関数、距離空間 定義と典型例
  2. 近傍系、開集合系、閉集合系 閉包 開核
  3. 点の位相的分類
  4. 点列の基本的性質・完備性
  5. 連続関数・一様連続関数
  6. 距離空間の正規性
  次学期以降 連結性、コンパクト、全有界と完備、Baire Category 定理、 関数空間の位相 などを予定しています。
  1. 微分方程式と流れ
    1. 定常流
    2. 線型微分方程式
    3. 有向体積、ベクトル外積、3次元での線型微分方程式
    4. 定常流の無限小解析
  2. Divergence
  3. 3次元空間のベクトル解析
  4. 調和ベクトル場
  5. 曲面と接空間
日付  5/13(日)、 5/27(日)
 6/10(日)
 6/30(土)、 7/7(土)
 7/14(土)
時間   14:00−18:00   
  14:00−18:00

講座名 G. 抽象線型代数T MB. 解析学のための多様体入門I
内容   今年度通常講座3期、集中セミナー2つからなる本格的な線型代数の型稽古の体系です。 今学期は表現論等にかんがみ取り扱いが改定されている。関連講座としてはIE 位相線型空間論があります。 この講座やMB多様体の講座は当然Gの内容への習熟が要求されます。
  今学期は線型空間の構造を丁寧に扱います。この部分は我々の通常の空間の背後にある根源的な性格を取り出したものです。
  今学期から6期にわたり、多様体の基礎概念から出発しRiemann多様体上の調和解析の基礎付けまでの連続講座です。 標準的な参考書で言うと 松島与三著 多様体入門のLie群、Lie環を除いた部分を取り上げます。 2011年にも多様体の概略を取り上げましたが、前年度はLie群の準備のためのまとめでした。
  今年度は、入門、初級で学ばれたことを総合して用いる稽古です。 IA、IF、ID、EA、G で学ばれたことを局面に合わして柔軟に繊細に用いることを学びます。
項目
  1. 表現と実在(線型空間論)
    1. 線型空間の定義と典型的な線型空間
    2. 線型部分空間、部分空間の共通部分と和
    3. 生成される線型空間、直和
    4. 線型従属・独立
    5. 次元と基底、座標写像
    6. 抽象の用法
  1. 多様体の定義
  2. 可微分関数と局所座標
  3. 接空間と自然基底
  4. 可微分写像と臨界点
  5. ベクトル場と微分作用素
日付   5/20(日)、 6/3(日)
  6/17(日)、 7/1(日)
  5/26(土)、 6/9(土)
  6/23(土)
時間   14:00−17:30   
  14:00−18:00

講座名 MC. 複素多様体
内容 〔2012/06/27更新〕 諸般の事情により、今学期は休講になりました。
項目  
日付  休講
時間   

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 春期集中セミナー(2011年度)
講座名 Radon Nikodymの定理と有界変動関数 (初級・中級)
内容 2011年度冬期集中セミナーでは測度の構成についてポイントを解説しました。 今回はより精密な解析学で重要な役割を果たすLebesgue分解、Radon-Nikodymの定理を 符号付き測度の第一歩から丁寧に扱います。尚春学期IEでは、作用素値の測度の枠組みで 作用素解析を導入しました。その有用性に鑑みて一般のベクトル値測度についても触れる予定です。
項目
  1. 符号付き測度・複素測度・ベクトル値測度
  2. Hahn分解・Jordan分解
  3. Lebesgueの分解と絶対連続性・特異性
  4. Radon-Nikodym の定理とRadon-Nikodym 導関数
  5. 有界変動関数
日時 4月21日(土) 14:00−18:00 4月22日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

講座名 IFからの確率論2
確率論を通じて基本語彙の演習
内容 近代確率論は確率空間を出発点にします。確率空間は、標本空間、確率の定義される部分集合全体(σ集合体)、 その上の関数である確率測度の3つから構成されます。本講座では、確率測度を題材として、 集合や写像についての丁寧な演習を通じて、現代数学の特徴的な理論の構成法を学びます。 仮定する知識はIF(数学の基本語彙と文法 集合と写像)程度です。集合論の取り扱いをより深めたい方や、 確率の基礎理論を学びたい方に最適です。(鈴木桜子)
項目
  1. Introduction
  2. 確率測度の定義と例
  3. 確率測度の性質
  4. Euclid空間の測度
  5. 確率空間の完備化
日時 4月29日(日) 11:00−17:00
参加料 会員10,000円(学生8,000円)

講座名 セミナー付き懇親会 (軽食飲み物付き)
不等式から始めよう(凸性とゲージ 多次元空間)
内容 本来は1日の入門セミナーを予定していたのですが、趣を変えて、懇親会とセットにしました。 セミナーを前菜にして、会員同士またゲストとの交流を深めてください。 無論どちらかのみのご参加も歓迎します。
内容は4月29日(日)に名古屋で行われる、高校生、受験生、数学愛好者を対象にした 解析学入門講義「不等式を通して多次元空間を見る」のシニアバージョンです。 不等式の背後に潜む多次元空間の必然性を理解します。不等式の面白みは、初等幾何や解析幾何とならんで、 中学生高校生でも十分に理解できるものであり、純朴な意味で数学探求の意欲をかきたて、 その一方で歩んでゆくかなたに豊かで深い世界を予感させてくれるといえるとおもいます。
日時 5月3日(木・祝) 13:00−17:30
 不等式から始めよう 13:00−15:00
 懇親会       15:30−17:30
参加料 ¥5000 (学生 ¥3000)(セミナー懇親会込み)
 セミナーのみ ¥3000(学生¥2000)
 懇親会のみ  ¥2000(学生¥1000)

講座名 剰余類、商空間
数学の基礎素養のUP (入門・初級)
内容 このセミナーは、懇親会の2次会の席での会員との議論に端を発しています。 商空間が出てくると途端に躓く人が増えるのはなぜだろうか?今回は私なりにこの問題を考えてみました。
現代数学の特質を考えてみると、Cantorが数学を解放して以来、数学の対象が無際限と言っていいほどに広がった代わりに、 数学的対象はこちらが慎重に繊細に識別しなければならぬものになりました。そのような事態に対応するために、 現代的な理論では、数学的な対象を確定するという半ば哲学的操作そのものが数学の言語の中に機能的に取り込まれるようになったのです。 20世紀以降の数学においては数学の対象は自明ではなく、見かけ上は、意識的に作り出すものになってしまったのです。 教育はそのあたりに無頓着に見えます。また数学を学ぶ際に当然始めは事実を学ぶのに精いっぱいでそんなことは気付きません。 そこで改めて、コセット、商空間を通して現代の数学語、方法への理解を深めましょう。
項目
  1. 同値関係とCoset分解
  2. 剰余空間・類関数
  3. 作用と軌道、作用不変
  4. 線形空間の商空間
  5. いくつかの商空間
日時 5月5日(土) 14:00−18:00 5月6日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

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 春学期講座(2011年度)
講座名 IA. 解析教程I IB. 複素関数論 有理型関数
内容 解析学の標準的な教程です。一般位相の諸概念や高度な解析学の評価の技術などの基本の型は、 既にこの部分に登場します。今回でいえばIEやEAで用いられる技法の多くは、この段階で身につけるのです。 歴史的なアイデアの発展についてもなるべく時間をさきたいとおもっています。 秋学期では留数定理に関連して、簡単に有理型関数を導入した。 今回は有理型関数の体系的理論です。
項目
  1. イントロダクション 2項係数・多項式補間
  2. 数直線
  3. 収束列・収束級数
  4. 連続関数と3つの基本定理

来学期開講のIA.解析教程II 微分積分学(微分法の基礎定理とRiemann-Stieltjes積分)へ続く
  1. 孤立特異点
    1. 除去可能な特異点と極
    2. 極の近傍における正則関数の挙動
    3. 本質的特異点とWeierstrass-Casoratiの定理
  2. 有理型関数の一般論
    1. 基本概念
    2. 有理型関数の代数
    3. 有理型関数体 代数と位相
  3.  
  4. 附値
  5. 有理型関数の収束級数
  6. トピックス
 
日付  1/29(日)、2/12(日)
 2/26(日)、3/11(日)
 1/29(日)、2/12(日)
 2/26(日)、3/11(日)
 3/25(日)、4/8(日)
時間   14:00−17:00
  11:00−13:00

講座名 IC. Unitary 表現への招待II ID. 初等線形代数と微積分
内容 コンパクト群の表現論の基礎理論は既知として、今回は、コンパクト群と局所コンパクト群に ついて具体例を通じて理解する。またこれらはMCの内容前半の補充として有用である。 Hessianとは、テンソルとは何だろうか?これは極値周辺のTaylor公式の主要項を与え、 幾何学的には曲面の極値周辺の形状の分類になります!この時固有値の符号分布が指標になるのです。 「統計のモデルから、多様体まで」共通の数学的枠組みの背景を明らかにしましょう。 また高階微分の表現法として自然にテンソルが導入されます。多変数の高階微分法の理論を 首尾一貫した座標不変な方法で展開します。とりわけ将来多様体を基礎にした応用解析を目指す方は、 この部分をしっかりと理解してください。ご自分が何をやっているか、何をすべきかを理解するために!
項目
  1. Fourier級数と群の表現
  2. 線形Lie群
  3. SO(3)のUnitary表現
  1. r回連続微分可能な関数
  2. 2回連続微分可能な関数とHessianとLaplacian
  3. 高階微分のTensor表示
  4. 剰余付Taylor-Lagrange公式
  5. 極値・極大・極小
日付  3/24(土)、3/31(土)
 4/7(土)
 1/22(日)、2/5(日)
 2/19(日)、3/4(日)
 3/18(土)、4/1(日)
時間   14:00−18:00
  11:00−13:00

講座名 IE. Hirbert空間上の作用素 IF. 数学の基本語彙と文法
内容 Hilbert空間上の作用素の講座もいよいよ最終段階まで来ました。 秋学期では可測集合上のスペクトル測度の一般論を考えました。いよいよ作用素のFourier解析です。 たとえれば基本素振りです。この部分が本当に身についている人は意外に少ないのです。 数学が高度になるとその真価が問われます。一度はやっておかれる事をお勧めします。 同じ内容でも受講される方の水準によって稽古の内容が変わってきます。
この講座の発展編として鈴木桜子講師によるIFからの確率論シリーズが予定されています。
項目
  1. 自己共役作用素のスペクトル定理の理解
  2. 自己共役作用素の解析
  3. 強連続1−パラメータ変換群とStoneの定理
  1. 総和記号と数学的帰納法
    1. Σ
    2. 数学的帰納法
    3. 非順序和
  2. 集合論からの概念と記号法
    1. 集合の算法
    2. 写像の像と原像
    3. 写像の算法
  3. 変換群
日付  1/28(土)、2/11(土)
 2/25(土)、3/10(土)
 1/28(土)、2/11(土)
 2/25(土)、3/10(土)
 3/24(土)、4/7(土)
時間   14:00−17:00
  11:00−13:00

講座名 IH. 代数系入門 Polynomialsとイデアル EA. 抽象位相への招待
内容 多項式というと何か知っているような気がするが、実に様々な側面がある。 今回は、イデアルと群に関係した代数的な性質についてのトピックスです。 可換環や群の一般論を復習しつつ奥深い世界へ一歩一歩分け入っていきます。 一般位相の基本事項(開集合系からコンパクト、連結性)は既知として、 位相の強弱や位相基底や近傍の基底などを準備の後、始位相、終位相、直積空間、写像空間の単純収束etc. 後半はFilterから始まりTikhonovの定理まで関数空間の基礎付けを与える基礎工具を導入します。 解析学や幾何学、表現論、あるいは関数解析の応用等のアドヴァンストコースには必須の基礎になります。
項目
  1. 多項式空間のイデアルとイデアルの算術
  2. 多項式空間の線形空間への作用と線形変換の最小多項式・固有値
  3. 円分多項式
  4. Fibonacci型多項式
  1. 一般位相の基本事項からの補充
    1. 位相の階層
    2. 基本近傍系
    3. 第1・第2可算公理
    4. 連続性の判定
  2. 始位相・終位相
    1. 2つの基本定理
    2. 関数族より定まる始位相・終位相
    3. 直積位相
    4. 単純収束位相、一様収束位相
  3. Filter概論
日付  1/27(金)、2/10(金)
 2/24(金)、3/9(金)  
 3/23(金)、4/6(金)
 1/22(日)、2/5(日)
 2/19(日)、3/4(日)
時間   19:00−21:00
  14:00−17:30

講座名 EB. 現代ベクトル解析 MC. Lie 群と等質空間
内容 前回、線積分の理論とBanach空間値関数の微分法を論じた。今回は、 多変数の高階微分とTaylor公式、ベクトル解析の基礎が主題です。 前半は良く知られた斉次微分方程式と行列の指数関数の一般化、そして指数表現を用いた標準座標系の導入、 後半は複素多様体の概論です。前半はLie群とLie間についての基礎知識を必要としますが、 後半は線形空間と実多様体のしっかりとした基礎知識をお持ちの方なら、参加可能です。 複素多様体の基礎に興味のある方はどうぞ。
項目
  1. 実数値関数の2階微分とHessian・Laplacian・調和関数
  2. 高階微分と
  3. ベクトル場の高階微分、Taylor公式
  4. ベクトル場の発散
  5. 3次元Euclid空間のベクトル解析
  1. 1−パラメータ部分群と指数写像
  2. Lie群の標準座標
  3. 複素多様対概論
日付   3/18(日)、3/25(日)
  4/1(日)、 4/8(日)
 2/4(土)、2/18(土)
 3/3(土)、3/17(土)
時間   14:00−17:00   
  14:00−17:00

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 冬季集中セミナー(2011年度)
講座名 IFからの確率論
確率論を通じての基本語彙の演習(入門)
内容   近代確率論は確率空間を出発点にします。確率空間は、標本空間、確率の定義される 部分集合全体(σ集合体)、その上の関数である確率測度の3つから構成されます。 本講座では、確率論の文脈の中で、集合や写像についての丁寧な演習を通じて、 基礎技術の向上を図るとともに現代数学の特徴的な理論の構成法を学びます。 仮定する知識はIF(数学の基本語彙と文法?集合と写像)程度です。 集合論の取り扱いをより深めたい方や、確率の基礎理論を学びたい方に最適です。(鈴木桜子)
項目
  1. Introduction 確率空間
  2. σ集合体の定義と性質
  3. σ集合体の生成
  4. ボレル集合体
  5. 直積σ集合体
日時 12月18日(日) 11:00−17:00
参加料 会員10,000円(学生8,000円)

講座名 代数学演習
有限群の表現 (入門)
内容   群と線形代数の基本的な知識は仮定します。
  夏の集中セミナーでAbel群と指標を取り上げ、トピックスとして有限Abel群と調和解析の関係を論じた。 今回はその続きです。(ただし表現論の部分の予備知識は仮定しない。) 表現論の基本知識をまとめつつ有限次元表現の理論を矮小化された場合に手を動かしながら見ていきましょう。
項目
  1. 基本概念
  2. 完全可約性とSchurの補題
  3. Characterと直交関係
  4. 有限群上の調和解析
日時 12月23日(金・祝) 11:00−17:00
参加料 会員10,000円(学生8,000円)

講座名 Euclid空間上のLebesgue-Stieltjes測度、Radon測度 (初・中級)
内容   抽象測度空間上の積分の理論、測度の拡張の一般論、直積測度等の一般論は、 既知として(初めに簡単なまとめをする。)より解析的に自然な距離空間、 Euclid空間における測度とLebesgue積分を考察する。
項目
  1. 一般論概略
  2. Lebesgue-Stieltjes測度
  3. Riemann積分とLebesgue積分
  4. Radon測度
日時 12月24日(土) 14:00−18:00 12月25日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)
   
講座名 級数で表示される関数(解析学教程)(入門)
内容   夏の集中ではWeierstrassの制限完備性の公理を基礎に収束数列、収束級数を扱いました。 今回は前半は絶対収束級数と条件級数の比較、特にAbel変形、Dirichletの定理etcを重要な例とともに 詳しく扱います。
  洗練された形で連続性や微分可能性を扱った後、後半は関数項の級数の一般論、 最後が冪級数と実解析関数。いくつかの特殊関数とつづきます。
項目
  1. 準備
  2. 絶対収束級数・条件収束級数
  3. 関数列・関数項の級数
    1. 連続関数
    2. 可微分関数
    3. 関数列・関数項の級数 一般論
    4. べき級数
日時 1月7日(土) 14:00−18:00 1月8日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

講座名 ガイダンス・懇親会
内容   数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。 講座の取り方等の個別の相談も承ります。筆記用具をご持参下さい。 新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。
  懇親会については、会員の「数学の勉強をめげずに、飽きずに長続きさせるには」等のTalkがあります。会費¥2000、軽食と飲み物付きです。
日時 1月9日(月・祝)

講座名 関数解析特論
Banach空間の弱位相、汎弱位相 (中級)
内容   関数族で決定する写像の一般論(第1日目)から始めて、ノルム空間の弱位相・汎弱位相を丁寧に解説します。 凸性と弱位相の著しい関係を見た後簡明だが強力なBipolar Theorem(双極定理)をへて 最後に単位球上の弱位相によりBanach空間はかならずコンパクト空間上のBanach空間の部分空間として 埋め込まれるという著しい結果までを予定しています。
項目
  1. 位相的準備 写像族で定まる位相
  2. 弱位相
    1. 弱位相・汎弱位相
    2. 凸性と弱位相
    3. Bipolar Theorem(双極定理)
    4. 2つの定理
日時 1月14日(土) 14:00−18:00 1月15日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

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 秋学期講座(2011年度)
講座名 IB. 複素関数論
大域的Cauchyの積分公式
IC. Unitary表現への招待
内容   今回は幸い平面上なのでやたらに厳密性に固執せず 発想を理解していただきたいと思っている。 尚ISでは古典的な応用が行われる。余裕がある方にはお勧めする。   夏学期に位相群のSchurの補題まで進んだが、敢えてこれまでの経緯にあまり拘らず、 位相群や表現論の結果は仮定せず基本的な関数解析の結果のみを用いて、 Unitary表現とは何かを理解してもらうことを主眼にする。  
項目
  1. 大域的Cauchy理論
    1. 位相幾何学からの言葉
    2. 大域的積分公式
    3. 局所可積分
  2. Calculus of Residue
    1. Residue Theorem
    2. 偏角原理
    3. 実積分の評価
  1. Unitary表現の概念
  2. コンパクト群のUnitary表現とPeter-Weylの定理
  3. TのUnitary表現とFourier級数
  4. トピックス
 
日付  9/25(日)、 10/9(日)
 10/23(日)、11/6(日)
 11/20(日)、12/4(日)
 10/8(土)、10/22(土)
 11/5(土)、11/19(土)
 12/3(土)、12/17(土)
時間   11:00−13:00
  14:00−16:00

講座名 ID. 初等線形代数と微積分 IE. Hilbert 空間上の作用素
自己共役作用素のスペクトル分解
内容   一般多次元のEuclid空間上の微積分の理論の中心になる部分である。純粋数学にせよ、 応用解析にせよ、必須の素養である。幾何学的な行列式の理論や置換群の表現、Gram行列などの美しいトピックスが登場する。
  次のタームは、Euclid空間上の微積分の展開である。  
  以前中級講座で古典的な形でこのテーマにつき詳細な証明を与えたが、 今回は概略をよく理解して、使えるようになることに重点を置く。 開講は未定だが、直接関連する講座としてはICがある。 例えばユニタリ表現に関するSchurの補題は自己共役作用素のスペクトル分解の応用問題である。
項目
  1. 写像の微分法
  2. 行列式の幾何学的定義
  3. 線型変換の行列式・sgn 再論
  4. 領域上の積分
  5. Jacobi行列式と変数変換公式
  6. Gram行列・Gram行列式・面積分
  1. 一様有界性の原理
  2. 開写像定理、閉グラフ定理
  3. Stieltjes積分
  4. 射影作用素と単位の分解
  5. 自己共役作用素のスペクトル分解
日付  10/2(日)、 10/16(日)
 10/30(日)、11/13(日)
 11/27(日)、12/11(日)
 9/24(土)、 10/8(土)
 10/22(土)、11/5(土)
 11/19(土)、12/3(土)
時間   11:00−13:00
  17:00−19:00

講座名 IF. 数学の基本語彙と文法 IH. 代数系入門
内容   はじめに意識的に学ぶことの少ない狽フ用法を、多重添え字の場合を中心に、 応用練習として同じ対象に異なった和の束をすることにより様々な表現が得られることを実践的に学ぶ。 数学的帰納法も状況に応じて、様々な、バリエーションを使いこなすことを学ぶ。
  2.、3.で扱うのは理論としての集合論ではない。記述としての、集合写像の取り扱いに習熟することが狙いである。
  最後に応用練習として、変換の半群、群を扱う。この部分はご自分で数学をやる際には、 必ず身につけなくてはならぬものであるが、一定の水準を超えないと、武術における素振りのようにこの種の稽古の重要さはわからぬものなのです。
  初めての方は基より、一定のブランクの後に数学を学び直す方は、この講座から始めることをお勧めする。
  夏学期は半群から始めて、群の準同型定理に至りました。
  夏期集中ではAbel群と指標群を取り扱い、Abel群の双対定理や表現論の入門まで 視野を広めていただけたと思います。その際にも強調したように、 群は多くの場合環の中に加法群と乗法群として現れます。あるいは、解析的対象への作用として現れます。
  そこで今学期は環とイデアル、多項式という応用上もっとも自然な基礎を学んでいきます。  
項目
  1. Σの用法と数学的帰納法
  2. 集合の代数
  3. 写像の概念・像と原像
  4. 代数語事始め
  1. 可換環とイデアル
    1. 基本概念
    2. イデアルと商環
    3. 準同型
  2. 多項式
  3. トピックス
日付  10/1(土)、 10/15(土)
 10/29(土)、11/12(土)
 11/26(土)、12/10(土)
 9/30(金)、 10/14(金)
 10/28(金)、11/11(金)
 11/25(金)、12/9(金)
時間   11:00−13:00
  19:00−21:00

講座名 EA. 抽象位相への招待
連結性とコンパクト性
EB. 現代ベクトル解析
微分・線積分
内容   一見単純だが、理解しにくい、相対位相と部分空間の理解から始める。 線形空間における線型部分空間同様、見かけ以上に強力な概念である。 連結性は局所定数関数による基礎付けから出発する。この方が解析学との結びつきが明瞭だからである。 扱うのは標準的な内容である。コンパクト性はここでは一様構造にかわらぬ部分のみ扱う。
  一様構造・全有界・完備性などは集中で扱う予定である。
  ベクトル解析の基礎の中心的な部分です。前半は実数値関数の微分法と線積分を取り扱います。 複素関数論に現れる線積分の議論の一般化です。後半は微分の一般論になります。
  過度の一般化を避けるために有限次元の範囲に限定しますが、 多少の修正をすればBanach空間でも通用する形にしました。必要に応じて補いますが、 数学の基本語彙と用法(数学工房ではIF講座)へのある程度の習熟はむろんのことですが、 微積分および抽象線形代数、距離空間の位相の極く基礎的な知識はあったほうがよいでしょう。 丁度ID[初等線形代数と微積分の一般化]の厳密化になっています。 次のタームでは高階微分とテンソル空間に続きます。
項目
  1. 相対位相・部分空間
  2. 連結性
    1. 局所定数関数
    2. 連結性の基本的性質
    3. Euclid空間の連結開集合
    4. 連結成分
  3. コンパクト
    1. Heine-Borelの性質・有限交叉性
    2. コンパクト性についての基本的性質
    3. コンパクト集合上の連続写像
  1. 実数値関数の微分法
    1. 方向微分
    2. 微分可能な関数
    3. グラージェント
    4. 微分1形式(Pfaff形式)
  2. 線積分
    1. 定義と基本的な諸性質
    2. 微積分の基本定理
  3. ベクトル場の微分法
    1. 微分とJacobi行列
    2. 諸公式
    3. 直積空間で定義された関数の微分について
日付  10/2(日)、 10/16(日)
 10/30(日)、11/13(日)
 10/9(日)、10/23(日)
 11/6(日)、11/20(日)
時間   14:00−17:30
  14:00−17:00

講座名 IG. 講読講座 IS. 解析数論(Siegel 解析数論を読む)
内容 諸般の都合により秋学期は休講になりました。
今学期は、確率統計系のセミナーがありませんが、関連するテーマの集中セミナーを年末に行う予定です。
  2010年秋学期から、数学の優れた講義録や本の紹介を目的に始まった 本講座の第1シリーズ「 Siegel 解析数論を読む」は今学期で終了します。
  いったんお休みをいただいて来年の夏学期または秋学期から新しいシリーズを始める予定です。
項目  
  1. 剰余付素数定理の概説
  2. Riemann Zetaの関数等式の複素関数論的証明
  3. クリティカルストリップの零点分布
日付 休講  9/17(土)、 10/1(土)
 10/15(土)、10/29(土)
時間
  14:00−17:20

講座名 MC. Lie 群と等質空間
項目
  1. 多様体の言葉から(概略)
    1. 基本概念、記号
    2. ベクトル場と微分作用素のLie環
    3. ベクトル場と1パラメータ群
  2. 位相群の等質空間・局所コンパクト群(概略)
  3. Lie群と等質空間
    1. Lie群とLie環
    2. 微分形式概論
    3. 不変微分形式
    4. 1パラメータ部分群年数写像
    5. Lie群の標準座標
日付   11/12(土)、 11/26(土)、 12/10(土)
時間   14:00−18:00

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 夏期集中セミナー(2011年度)
講座名 Topics in complex FunctionTheory
複素対数と無限積 (初級)
内容  複素対数関数の概念はこの領域の初学者にとってそれほどわかりやすいものではない。 実際複素対数の多価性による定義の困難は、複素領域の解析学に現れた最初の大いなる謎であった。 それを解決したのはEulerでEulerの名の冠された有名な公式はその副産物である。
 正則関数の研究で正則関数の対数と無限積はもっとも基本的な道具である。 この講座で取り扱われる内容はもともと解析数論の講座ISレジュメとして書き始めたものである。 この種のトピックスはまとめて取り上げることがあまりないのでこの機会に取り上げることにした。 Cauchyの積分公式に至る複素解析の基本事項は既知とする。
項目
  1. 複素対数関数
  2. 正則対数関数と正則冪乗根
  3. 複素無限積
  4. 基本積とWeierstrassの定理
日時 8月27日(土) 14:00−18:00 8月28日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

講座名 測度とLebesgue式積分
直積測度とFubiniの定理 (初中級)
内容  Lebesgue式積分と測度に関する連続シリーズです。測度空間についての基本事項は仮定します。 解析学の様々な状況の中で直積測度と逐次積分を保証するFubiniの定理が現れます。 それをなるべく一般的な言葉で捉えます。
 このシリーズの続きはEuclid空間の測度の概略。そしてRadon測度。これは実際の解析学では飛びぬけて重要です。
項目
  1. 準備
    1. 可測空間上の積分
    2. 測度の拡張
  2. 直積測度の構成
  3. Fubiniの定理
日時 9月3日(土) 14:00−18:00 9月4日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

講座名 初級解析学特論
級数で表示される関数 (入門)
内容  収束列のCauchy流の定式化を認めて関数項の級数の基礎理論を明確に展開します。 この部分は各分野の応用数学の基本事項として不可欠な部分です。 これなしには微分方程式や特殊関数の取り扱いは不可能です。 数学工房では実1変数の解析学については通常講座で体系的な微積分をほとんど取り扱っていません。 したがって微積分の高度な部分はもっぱら、今のところトピックスとして集中セミナーで扱っています。 今回もその一環です。微積分の基本的な知識(微分の性質や微積分お基本定理などは既知とします。
項目
  1. 級数の基礎理論
  2. 正項級数の判定法
  3. Abel変形と総和
  4. 関数項の級数
日時 9月10日(土) 14:00−18:00 9月11日(日) 11:00−16:00
参加料 会員16,000円(学生12,000円)

講座名 代数学演習
Abel群と指標(入門)
内容  Abel群と指標の著しい性質に的を絞った演習講座。 群について既知の人にとっては純然とした代数演習に、 また群の知識がなくとも集合や写像についての用法の発展演習としても有用であると思います。
項目
  1. 群の基本事項
  2. 指標群
  3. Abel群の構造定理と指標群の構造
  4. トピックス
日時 9月18日(日) 11:00−17:00
参加料 会員10,000円(学生8,000円)

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 夏学期講座(2011年度)
講座名 IB. 複素関数論の展開 IC. 位相群の表現
項目
  1. Reimann の延長定理
  2. 正則関数の一致の定理
  3. Cauchy の評価と最大原理
  4. Liouville の定理
  1. 位相群G の表現加群
  2. 直和表現、テンソル積表現、双対表現、共役表現
  3. コンパクト群の共役表現と双対表現
 
日付  5/15(日)、5/29(日)
 6/12(日)、6/26(日)
 7/10(日)、7/24(日)
 5/21(土)、6/4(土)
 6/18(土)、7/2(土)
 7/16(土)、7/30(土)
時間   11:00−13:00
  14:00−16:00

講座名 ID. 初等線形代数と微積分T IE. Hilbert 空間上の作用素
項目
  1. 数ベクトル空間
  2. 内積・直交性
  3. 線型部分空間、Span、商空間
  4. 行列と線型写像
  5. 随伴と写像の微分法
  1. レゾルベントとスペクトル
  2. 自己共役作用素
  3. スペクトル定理
  4. Hilbert 空間の典型例
  5. トピックス
日付  5/22(日)、6/5(日)
 6/19(日)、7/3(日)
 7/17(日)、7/31(日)
 5/21(土)、6/4(土)
 6/18(土)、7/2(土)
 7/16(土)、7/30(土)
時間   11:00−13:00
  17:00−19:00

講座名 IF. 数学の基本語彙と文法 IH. 代数系入門
項目
  1. Σの用法と数学的帰納法の様々な用法
  2. 集合の代数
  3. 写像
  1. 群と半群、変換群
  2. 部分群、正規部分群、群準同型
  3. 群の作用と商空間
  4. Abel 群と指標群
  5. 可換環とイデアル
  6. 既約剰余類とFermat の小定理
  7. 円分多項式とFibonatti 型数系
日付  5/21(土)、6/4(土)
 6/18(土)、7/2(土)
 7/16(土)、7/30(土)
 5/20(金)、6/3(金)
 6/17(金)、7/1(金)
 7/15(金)、7/29(金)
時間   11:00−13:00
  19:00−21:00

講座名 EA. 抽象位相への案内 EB. 現代ベクトル解析
項目
  1. 開集合導入の契機、距離的でない位相空間、擬距離空間
  2. 近傍と点の位相的分類
  3. 位相の比較、位相の階層、位相の生成
  4. 連続写像
 新井朝雄著作[現代ベクトル解析の原理と応用]の6章以降を取り上げます。 計量線形代数、多重線形代数等の知識は必要に応じて復習します。

T 曲線の微積分
  1. ベクトル値連続写像
  2. 曲線
  3. 曲線の微分法
  4. 弱積分
  5. 弧長
  6. 曲線の微分幾何
  7. 常微分方程式と流れ
以下
U スカラー場の微積分
V ベクトル場の微積分
W 微分形式とテンソル場
X Stokesの定理
日付  5/22(日)、6/5(日)
 6/19(日)、7/3(日)
 7/17(日)、7/31(日)
 5/29(日)、6/12(日)
 6/26(日)、7/10(日)
時間   14:00−16:30
  14:00−17:00

講座名 IG. 講読講座 IS. 解析数論(Siegel 解析数論を読む)
内容  An Intermediate Course in Probability(ALLAN GUT)」を講読して、統計等の確率を応用する分野に必要な確率論の基礎を身に着けることを目的とします。 高校程度の確率の基礎知識があり、大学1年程度の微積分、線形代数を習得している人を対象とする講座です。 この講座で使う本は、測度論を前提とせず、今述べたような基礎知識だけで読み進める良書です。一歩、一歩読み進んで行きましょう。
扱う内容は、
  1. 多変量確率変数
  2. 条件付き確率
  3. 確率母関数
  4. 積率母関数
  5. 多変量正規分布
  6. 様々な収束と極限定理
と多岐に渡りますが、この中から1講座ごとに完結するようなテーマを選んで進めていきたいと思います。 微積分や線形代数が確率を通して結びついている面白さを味わって頂きたいと思います。鈴木桜子
 今期は63p〜102p を予定しています。いよいよ素数定理の複素関数論的証明に向かいます。
  1. Das Teiler Problem
  2. Der diskontierlische Faktor und Beweis Primzahlsatzes mit Restglied
日付  5/25(水)、6/8(水)
 6/22(水)、7/6(水)
 7/20(水)、8/3(水)
 5/14(土)、5/28(土)
 6/11(土)
時間  19:00−21:00
  14:00−18:20

講座名 MC. Lie 群と等質空間
項目
  1. 位相群まとめ
  2. 位相群の等質空間、局所コンパクト群
  3. Lie 群とLie 環
  4. 1 パラメータ部分群と指数写像
日付   6/25(土)、 7/9(土)
  7/23(土)
時間   14:00−18:00

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 春季集中セミナー(2010年度)
講座名 ガイダンス
内容  数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。 講座の取り方等の個別の相談も承ります。
筆記用具をご持参下さい。新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。  参加ご希望の方は早めに数学工房 sugakukobo@w5.dion.ne.jp までお申し込みください。
日時 4月17日(日) 14:00−15:30
場所 数学工房 駒込教室

講座名 数学工房懇親会と小講義
内容  飲み物軽食付きで会費¥2000です。会員による小講義 「統計科学における数学、最近の話題から」も予定されています。 奮ってご参加ください。参加ご希望の方は、人数に限りがございますのでお早めにお申し込みください。
日時 4月30日(土) 13:30−17:00
場所 数学工房 駒込教室

講座名 Advanced Linear Algebra(特異値、特異ベクトル)
内容  特異値、特異値ベクトルは幾何学的には極めて明白な意味を持つ不変量である。このことを基礎にして特異値、特異ベクトルの理論を組み立てていく。 また応用とのつながりを重視して、双線形式の空間と線形写像の空間との関係も体系的に明らかにする。
 予備知識としては抽象線形代数を一通り、初めに概略を見るが、線形写像のadjointとその基本的な性質、実対称変換と最大原理あたりまでの知識は復習しておかれるとよい。
項目
  1. 準備
    1. adjoint
    2. 対称変換
    3. 正射影
    4. 最大原理と固有値
  2. 特異値、特異ベクトル
    1. イントロダクション(幾何学的視点)
    2. 特異値、特異ベクトル
    3. 双線形写像の極値原理
    4. 行列のDiadic Expansio
    5. Penrose逆と応用
日時 4月23日(土) 14:00−18:00 4月24日(日) 11:00−16:00

講座名 名古屋公開講座
解析学事始め(2項係数とFibonacci数)
項目
  1. 2項係数とFibonacci数系の発見
  2. Fibonacci数のいくつかの性質
  3. 線形漸化式と解空間
  4. Fibonacci数からFibonacci多項式へ
日時 4月29日(祝) 13:30−18:30
    問い合わせは下記へ(一般参加者¥4000)
SEA 〒466−0027名古屋市昭和区阿由知通り5−5
TEL 052−852−5578

講座名 凸関数とGamma関数
項目
  1. 凸関数の一般論
  2. 対数凸
  3. Gauss積
  4. Gamma積分
  5. Gamma関数のいくつかの性質
日時 5月1日(日) 11:00−16:00

講座名 測度の構成、拡張、直積測度
項目
  1. 準備 測度の積分概略
  2. Caratheodory外測度
  3. Hopfの拡張定理
  4. 完備化
  5. 直積測度とFubiniの定理
日時 5月3日(火) 14:00−18:00 5月4日(水) 11:00−16:00

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 春学期講座(2010年度)
講座名 IA. 解析教程V IB. 複素関数論
内容  Newton, Leibniz の微積分学の基本定理に端を発した古典解析学の豊かな仕事 は、18世紀末には「解かれるべき問題は全て解かれ、残されたのは、楕円関 数の本性の理解とか、三角級数展開をめぐって起きた諸問題のように、それま でのアプローチではもはや手のつけようの無い問題ばかりである」と、当時の 巨匠Lagrange が嘆いています。次の世代のとった態度は基礎を深く掘り下げ問 題の対象を明確にする方向でした。こうして解析学の停滞は克服されたのです。 このような解析学の歩みを剰余付Taylor 定理とFourier 級数論を例に見てみた いと思います。  今期は複素関数のCauchy理論の基礎付けを行う。先ず前半で複素微分形式の 「微積分の基本定理」を確立する。通常の実1変数の微積分と比較すると、積分可能条件に平面トポロジーが本質的にかかわることが分かるであろう。応用として局所的なCauchyの積分定理、積分公式を導き、いくつかの帰結を追求する。ただし曲線、トポロジーの取り扱いは直感的な範囲にとどめることにする。 基本的な一般位相の概念が本質的な役割を果たすことを見るには絶好の材料である。IBと同時に学ばれるのもよいかもしれません。
項目
  1. 平均値定理
  2. 剰余付Taylor 公式
  3. Fourier 級数論の始まり(古典解析と近代解析の分水嶺)
  1. 複素線積分
    1. 曲線の微積分
    2. 複素線積分線積分に関する基本定理
  2. Cauchyの積分定理・積分公式
 
日付  1/21(金)、2/4(金)
 2/18(金)、3/4(金)
 3/18(金)、4/1(金)
 1/23(日)、2/6(日)
 2/20(日)、3/6(日)
 3/20(日)、4/6(日)
時間   19:00−21:00
  11:00−13:00

講座名 IC. 代数学、解析学特論 ID. 初等線形代数と多次元の微積分
内容  位相群の基本事項をまとめた後、局所コンパクト群上のHaar測度の存在と本質的一意性を基礎にして、コンパクト群の表現論を第1歩から扱う。線形代数と群論、一般位相の文字通り総合演習。特別な知識は要求しないが、線形代数と一般位相には習熟している必要があります。  多変数の微積分の基礎のアイデアを知りたい人には最適の講座です。この講座 は一貫して多次元Euclid 空間の幾何学的直観を背景にして初等線形代数と微積 分の意味を扱っている。この部分の理解は多くの応用数学に登場する諸量の意 味を明確に理解できる助けになるのでしよう。純粋数学の例でいえば多様体上 の解析の本質的な部分は既にID の中にあらわれています。新規講座ではありま せんが、初等線形代数と微積分にある程度習熟している方なら参加可能です。
項目 ■コンパクト群の表現
  1. 連続群の作用
  2. 不変測度・不変積分
  3. 位相群の表現
  4. コンパクト位相群
  1. 曲面上の積分とGram 行列
  2. C r 級関数
  3. 多次元の高階微分
  4. Gradient, Laplacian の座標不変な定義
  5. 剰余付Taylor の定理
日付  1/29(土)、2/12(土)
 2/26(土)、3/12(土)
 3/26(土)、4/9(土)
 1/30(日)、2/13(日)
 2/27(日)、3/13(日)
 3/27(日)、4/10(日)
時間   14:00−16:00
  11:00−13:00

講座名 IE. Hilbert空間の上の作用素 IF. 数学の基本語彙と文法
内容  作用素の理論の特徴は、十分に大きな関数空間上で様々な、解析的なオペレーションに由来する線形写像を同時に扱うという事情から、全空間では、定義されず、元の空間の位相では連続でない作用素を扱うことになります。一見すると、代数的な理論と比べて理論が泥臭く見えるのはそれゆえです。 今期は、一般位相、線形代数の総合演習として線形代数の結果と対照しつつ一歩一歩丁寧に進んでゆきます。 一般位相と抽象線形代数の初歩的な知識は要求いたします。  どのような分野の数学をやるにせよ、現代の数学をやるには必須の最低限の技術的知識です。それ以前の知識にかかわりなくこの部分に難点があるとご自分で本格的に数学をやる際の躓きの石になります。(実際長年の経験ではこの部分が不確かな方が多い!)この部分に十分に習熟されている例外的な方を除いては、なるべく早いうちの履修をお勧めします。
項目
  1. Hilbert空間の直和
  2. 線形作用素の概念と基本的な性質
  3. 作用素のグラフ
  4. 閉作用素、可閉作用素
  5. 作用素のアドジョイント
  1. 総和記号と数学的帰納法
    1. Σ
    2. 数学的帰納法
    3. 非順序和
  2. 集合論からの概念と記号法
    1. 集合の算法
    2. 写像の像と原像
    3. 写像の算法
  3. 変換群
日付  1/29(土)、2/12(土)
 2/26(土)、3/12(土)
 3/26(土)、4/9(土)
 2/12(土)、2/26(土)
 3/12(土)、3/26(土)
 4/9(土)、 4/16(土)
時間   17:00−19:00
  11:00−13:00

講座名 EA. 距離空間と解析学 G.  抽象線形代数
内容  数学工房の稽古の基礎になる講座でまさに型の稽古からできている。この案内 の初中級以降をご覧になればわかるとおりどの講座も一般位相についての習熟 を要求している。今期は関数論の講座も同時に開講されているので位相の働き を具体的に理解したい方には同時にIB をとることをお勧めする。連結性とコン パクト性が関数論の言葉として根源的な役割を果たすのをみることになります。  一般位相と並び現代数学の言語の根幹であり初中級以上の講座を受講するには この部分への習熟は必須です。今期は内積空間を最も一般的な形で学ぶ。内積 空間Tでは直交性と正射影定理,Uでは線形形式の表現定理と近似定理、直交 化を扱います。後半では内積空間上の線形写像の一般論としてadjoint とその構 造、対称変換、正射影等を扱います。抽象の方法を身につけるもっとも基本の 型稽古であるとともに、多くの計量をもつ線形理論が統一された方法で簡明に 扱うことができます。無論、中級であつかう関数解析やRiemann 多様体上の理 論の理解には決定的な役割を果たします。
項目
  1. 実数値連続関数
  2. 連結の特徴付け
  3. 連結性の諸性質
  4. nの領域、
  5. 連結成分
  6. コンパクト性の定義。コンパクト集合の基本的性質
  7. コンパクト集合上の連続関数。
◆内積空間上の作用素のクラス
  1. 内積空間
    1. 内積空間と例
    2. 内積空間の幾何T
    3. 内積空間の幾何U
  2. 作用素の一般論
    1. adjoint
    2. 対称変換と正射影
    3. 等距離変換
    4. 2次形式の最大原理
日付  1/23(日)、2/6(日)
 2/20(日)、3/6(日)
 3/20(日)、4/3(日)
 1/30(日)、2/13(日)
 2/27(日)、3/13(日)
 3/27(日)、4/10(日)
時間   14:00−16:30
  14:00−16:30

講座名 IS. Analytisch Zahlentheorie MB. 多様体の理論の展開
内容  Siegelの解析数論のGoettingenにおける1968年の講義のマニスクリプトに沿った紹介です。 今回の中心テーマはDirichletの素数定理の証明です。始めにmod mの既約剰余類上の指標χに対 応するL級数(sχ)たちが導入され、対応するEuler積を用いて
p≡ a (mod m) なる素数のクラスを分離するので ある。この証明の鍵になるのが、L(1χ) ≠ 0を主指標と異なるχについて示すことで、先ずDirichlet の組み合わせ的論的な証明が示され、それから、一般のDirichlet級数とその複素領域への拡張をもちいて新証明が示される。この部分の証明の改良が複素関数論的な研究の方向が解析数論に現れた理由を示唆しています。
 2010年秋学期で多様体の向き付け、体積要素、多様体上の積分、Stokesの定理を扱った。今学期はその発展編でDivergence Theoremなどベクトル解析の諸定理の発展編から始まり、Riemann多様体上の調和形式までを扱い、コンパクト多様体上のKodaira-Hodgeの理論への入門としたい。
項目  ◆Dirichletの素数定理とL関数
  1. DirichletのL関数と算術級数上の素数定理
  2. Dirichlet級数の一般論
 ◆微分形式の積分とその応用
  1. Stokesの定理とベクトル解析の諸定理
  2. 内積空間上の交代形式
  3. Riemann多様体上の調和形式
  4. 調和形式とコホモロジー、Kodaira-Hodgeの理論への入門
日付   1/22(土)、 2/5(土)
  2/19(土)、 3/5(土)
 3/19(土)、4/2(土)
 4/16(土)
時間   14:00−17:00
  14:00−18:00

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 冬季集中セミナー(2010年度)
講座名 Matrix Algebras 入門(行列代数と線形代数)(入門・初級)
項目
  1. 行列の代数と線形写像の方法
  2. 練習問題
  3. 冪等行列と射影
  4. 一般化逆
日時 12月11日(土) 14:00−18:00 12月12日(日) 11:00−16:00

講座名 統計モデルと行列解析入門(入門・初級)
項目
  1. 基本概念 多次元分布
  2. 行列値関数の確率測度による積分
  3. 平均・分散共分散行列
  4. 多変量正規分布と関連する諸量
日時 12月18日(土) 14:00−18:00 12月19日(日) 11:00−16:00

講座名 Riemann- Zetaと関数等式、解析接続(初級)
項目
  1. 解析学からの準備
  2. 和公式とZetaの積分表示、Re(s)>0 の領域への解析接続
  3. Zeta関数等式
  4. いくつかの別証明(Riemannの原証明を含む)
  5. HamburgerによるZetaの特徴付け
  6. 有理形関数としてのRiemann- Zetaと零点
日時 12月25日(土) 14:00−18:00 12月26日(日) 11:00−16:00

講座名 Lebesgue式積分と測度(一般論)(初級)
項目
  1. 基本概念の概略
  2. 積分可能な関数の基本的な性質
  3. 収束定理とその帰結
  4. 測度の構成(概略)
日時 1月8日(土) 14:00−18:00 1月9日(日) 11:00−16:00

講座名 ガイダンス
項目  数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。 講座の取り方等の個別の相談も承ります。
筆記用具をご持参下さい。新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。  参加ご希望の方は早めに数学工房sugakukobo@w5.dion.ne.jpまでお申し込みください。
日時 1月15日(土) 13:30−15:30

講座名 一様空間 (初級・中級)
項目
  1. 一様構造の基本知識 まとめ
  2. Cauchy Filterと一様連続
  3. 全有界性とコンパクト
  4. 擬距離と擬距離空間
  5. 擬距離空間と一様構造
  6. 一様空間の完備化
日時 1月16日(日) 11:00−17:00

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 秋学期講座(2010年度)
講座名 IA. 微積分の基本定理の発見と展開 IB. 複素関数論(正則性とはなにか)
項目
  1. 微分法再論
  2. 定積分の概念
  3. 微積分の基本定理
  4. 微積分の基本定理から導かれる諸公式
  5. トピックス
  1. 複素数系・複素平面
  2. 複素級数
  3. Cauchy−Riemann方程式
  4. 正則関数 調和関数
  5. 複素線積分
 
日付   9/17(金)、10/1(金)
 10/15(金)、10/29(金)
 11/12(金)、11/26(金)
  9/25(土)、10/9(土)
 10/23(土)、11/6(土)
 11/20(土)、12/4(土)
時間   19:00−21:00
  14:00−17:00

講座名 IC. 位相群上の不変積分と表現論 ID. 初等線形代数から微積分へ
(領域の積分・曲面の積分)
項目
  1. イントロダクション 有限群上の表現
  2. 局所コンパクト群上のHaar測度の概略
  3. 局所 コンパクト群上の表現
  1. 基本図形の有効体積
  2. 基本図形の作るユーグリッド空間
  3. 領域上の関数の積分
  4. 曲面上の関数の積分
日付   9/24(金)、10/8(金)
 10/22(金)、11/5(金)
 11/19(金)、12/3(金)
  9/19(日)、10/3(日)
 10/17(日)、10/31(日)
 11/14(日)、11/28(日)
時間   19:00−21:00
  11:00−13:00

講座名 IE. Hilbert空間への招待 IF. 数学の基本語彙と文法
項目
  1. 線形作用素の概念
  2. 有界線形作用素のクラス
  3. 閉作用素、可閉作用素
  1. Σ の用法と数学的帰納法
  2. 集合と写像
  3. トピックス
日付   9/25(土)、10/9(土)
 10/23(土)、11/6(土)
 11/20(土)、12/4(土)
  9/18(土)、10/2(土)
 10/16(土)、10/30(土)
 11/13(土)、11/27(土)
時間   17:00−19:00
  17:00−19:00

講座名 EA. 距離空間と位相空間序説 G. 抽象線形代数U 線形写像・線形代数
項目
  1. 距離関数、距離空間 定義と典型例
  2. 近傍系、開集合系、閉集合系 閉包 開核
  3. 点の位相的分類
  4. 点列の基本的性質・完備性
  5. 連続関数・一様連続関数
  6. 距離空間の正規性
※ 最も基本的な型稽古で、長い期間にわたり改良を繰り返し用いられてきた、定番である。
  1. 線形写像
    1. 重ねあわせ原理と斉1次式
    2. 写像としての性質
    3. Image-Kernel TheoremとRank
    4. 存在と一意性定理
  2. 双対基底と座標写像・双対空間
    1. 双対基底と座標写像
    2. 双対空間
    3. 随伴写像
  3. 行列表示と座標変換
    1. 標準表示との関係
    2. 座標変換の行列表示
    3. 基底の変更に伴う行列表示の変換
  4. 線形変換
    1. 線形変換の代数
    2. 線形変換群
  5. 射影と直和
    1. 射影と直和
    2. 代数的理論
日付   9/26(日)、10/10(日)
 10/24(日)、11/7(日)
 11/21(日)、12/5(日)
  9/19(日)、10/3(日)
 10/17(日)、10/31(日)
 11/14(日)、11/28(日)
時間   14:00−16:30
  14:00−16:30

講座名 IS. 解析数論序説 MB. 多様体 微分形式の積分(Stokesの定理)
項目 T乗法的整数論
  1. 素因数分解(イントロダクション)
  2. Dirichletの素数定理
    1. 特別な場合の初等的解法
    2. 有限Abel群の指標
    3. DirichletのL関数と主定理の証明
    4. Dirichlet級数と主定理の新証明
    5. 分割問題
    6. Dirichletの不連続因子と剰余つき素数定理の証明
    7. Riemann Zeta-Functionの関数等式
    C.L.Siegel Analytische Zahlentheorie T
    Vorlesung,gehalten im Sommersemester 1963
    An der Universitaet Goettingen
    講義用草稿 Goettingen大学数学研究所発行
  1. コンパクトな台をもつ微分形式の積分
  2. Stokesの定理
  3. 写像度
  4. DivergenceとLaplacian
  5. 楕円型微分作用素の一性質
日付  10/11(月・祝)  11:00−16:00
 10/24(日)、11/7(日)
 11/21(日)、12/5(日)
  9/18(土)、10/2(土)
 10/16(土)、10/30(土)
 11/13(土)、11/27(土)
時間   11:00−13:00
  14:00−16:00

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 夏季集中セミナー(2010年度)
講座名 確率論における収束の概念(入門・初級)
項目
  1. 準備
  2. 確率分布の収束
    (分布の弱収束、特性関数列の収束、法則収束)
  3. 確率変数の収束の種々のモード
    (概収束、確率収束、平均収束の定義と相互関係)
  4. The Low of Large Numbers
  5. Central Limit Theorem
  6. Poisson’s Low of Small Numbers
日時 8月7日(土) 14:00−18:00 8月8日(日) 11:00−16:00

講座名 Lebesgue式積分と測度(一般論)(初級)
項目
  1. シグマ加法族と可測空間、測度、測度空間
    1. シグマ加法族と可測空間
    2. 可測写像、可測関数
    3. 単関数の代数
    4. 測度、測度空間
  2. 測度による積分
    1. 積分の定義
    2. 収束性に関する基本定理
日時 8月21日(土) 14:00−18:00 8月22日(日) 11:00−16:00

講座名 Riemann-ZetaをめぐってTEuler積とDirichlet級数 (フリー)
項目
  1. Euler積とDirichlet級数
  2. Zeta関数に関係する様々なDirichlet級数
  3. Dirichlet級数と数論的関数
日時 8月28日(土) 14:00−18:00 8月29日(日) 11:00−16:00

講座名 超関数の諸公式 (初中級)
項目
  1. 概略
  2. 超関数のテンソル積、畳み込み積
  3. 急減少関数
  4. 超関数のFourier変換
日時 9月5日(日) 11:00−17:00

講座名 ガイダンス
内容  数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。 講座の取り方等の個別の相談も承ります。筆記用具をご持参下さい。 新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。
日時 9月11日(土)

講座名 一様構造とFilter (初中級)
項目
  1. Filterの概略
  2. 一様構造と一様空間
  3. 完備性
  4. 一様連続性
  5. 前有界・コンパクト
日時 9月12日(日) 11:00−17:00

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 夏学期講座(2010年度)
講座名 IA. 解析教程T IB.Fourier解析
項目
  1. イントロダクション
  2. 解析関数
  3. 微分法と微積分の基本定理
  1. Fourier解析のL2理論
  2. L1(R)上のFourier変換
  3. Fourier-Stieltjes変換
  4. 多次元空間におけるFourier 変換
  5. トピックス
 
日付   5/21(金)、 6/4(金)
  6/18(金)、 7/2(金)
  7/16(金)、 7/30(金)
  5/8(土)、 5/22(土)
  6/5(土)、 6/19(土)
時間   19:00−21:00
  14:00−17:00

講座名 IC. 秋学期より再開します ID.初等線形代数と微積分
(多次元Euclid空間の幾何と初等線形代数)
項目  
  1. イントロダクション
  2. 数ベクトル
  3. 内積とノルム
  4. 直交性と直交性
  5. 多次元の基本図形
  6. 線形写像と行列算法
  7. 微分の概念T
日付     5/16(日)、 5/30(日)
  6/13(日)、 6/27(日)
  7/11(日)、 7/25(日)
時間     11:00−13:00

講座名 IE. Hilbert空間への招待 IF. 数学の基本語彙と文法
項目
  1. 内積空間
  2. 距離空間と位相から
  3. Hilbert空間の幾何学
  4. Hilbert空間の典型例
  1. Σ の用法と数学的帰納法
  2. 集合の代数
  3. 写像
  4. トピックス
日付   5/14(金)、 5/28(金)
  6/11(金)、 6/25(金)
  7/9(金)、  7/23(金)
  5/15(土)、 5/29(土)
  6/12(土)、 6/26(土)
  7/10(土)、 7/24(土)
時間   19:00−21:00
  17:00−19:00

講座名 EA. 位相と解析序説
秋学期より開講します
G. 抽象線形代数
項目  
  1. 線形空間、線形部分空間
  2. 従属、独立、基底、次元
  3. 基本的な線形空間
日付     5/16(日)、 5/30(日)
  6/13(日)、 6/27(日)
  7/11(日)、 7/25(日)
時間     14:00−16:30

講座名 MA. Schwartz超関数 超関数のFourier変換 MB. ベクトル場に働く基本的な作用素
項目
  1. 緩増加超関数
    1. 急減少関数の空間
    2. 緩増加超関数
    3. 1点を台とする超関数の構造
    4. 緩増加超関数の直積と畳み込み
  2. Fourier変換
    1. 急減少関数のFourier変換
    2. 緩増加超関数のFourier変換
    3. 諸性質
    4. Fourier変換と畳み込み
    5. 演習
  1. 共変テンソル場の変換
  2. 微分形式に働く種々の作用素
  3. 多様体上のコホモロジー
  4. 多様体の向き付け
日付   7/3(土)、 7/17(土)、 7/31(土)
  5/15(土)、 5/29(土)
  6/12(土)、 6/26(土)
  7/10(土)、 7/24(土)
時間   14:00−18:00
  14:00−16:00

講座名 IS. 加藤敏夫著位相解析入門との対話 MC. Hilbert空間の作用素の解析学
内容  加藤敏夫先生の名著 位相解析(理論と応用への入門)共立出版が2001年に復刊されました。 じっくりと基本的な例を見ながら、関数解析の考え方、対象を平易な、言葉で解き明かした、 本当にその領域を知る人の見事な入門書です。今期は第3章Lebesgue積分を読み進みます。
  1. 準備 単位の分解と自己共役作用素(スペクトル定理)
  2. 作用素の解析
    1. 作用素の関数
    2. Neumann−Riesz-Miuraの定理
    3. Stoneの定理
  3. 固有値問題
  4. 一般調和解析
日付   5/19(水)、 6/2(水)
  6/16(水)、 6/30(水)
  7/14(水)、 7/28(水)
  6/20(日)、 7/4(日)、 7/18(日)
時間  19:00−21:00
 13:00−17:20

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 春季集中セミナー(2009年度)
講座名 確率統計の基礎数学 特性関数と母関数
内容  今回は1日セミナーということもあり特性関数と母関数のみに焦点を絞りました。 細かい知識はひとまずおいて、確率の理論における分布の空間と特性関数の空間の構造的な理解をしてもらいます。
項目
  1. 基礎概念の概略
  2. 特性関数・母関数T
  3. 特性関数・母関数U
  4. 重要な例の計算
日時 4月4日(日) 11:00−17:00

講座名 ガイダンスと懇親会
内容  ガイタンス 13:00−14:00  懇親会14:30−17:30 会費¥1500 つまみお飲み物付き。 当日は研究会や、会の運営に参加されている会員にお話しをしてもらいます。それから、中央大学の諏訪先生が、 北イタリアのパドヴァ大学でのサバテカルから1年ぶりにお帰りになりましたので、 パドヴァでのお話を中心に北イタリア数学事情などをうかがいたいと思います。 普段知り合うことの少ない会員の交流が目的です。奮ってご参加ください。 なお教室の収容力の問題がありますので、参加ご希望の方は早めに数学工房sugakukobo@w5.dion.ne.jpまでお申し込みください。
日付 4月29日(祝・木)
場所 数学工房 駒込教室

講座名 フイルター
内容  Filterはもっとも、根源的な数学の構造の一つで、 現象の統一的な記述に有用な道具です。
項目
  1. 基本的な性質
  2. フイルターの収束とコンパクトの特徴付け
  3. Tikonovの定理
  4. フイルターと一様構造
日時  5月2日(日) 11:00−17:00

講座名 古典解析の真珠
項目
  1. イントロダクション 関―Bernoulliの冪和の探求
  2. Bernoulli多項式
  3. Eulerの三角級数展開
    1. Eulerの公式
    2. ある3角級数
    3. Bernoulli多項式との関係
    4. Zetaの特殊値
  4. Eulerの和公式とPoissonの和公式
日時  5月4日(火) 14:00−18:00 5月5日(水) 11:00−16:00

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 春学期講座(2009年度)
講座名 IA.入門解析教程
(解析学とは何か?どこから来たのか?)
今年度は休講します。
IB.Fourier解析序説V
(函数空間とFourier解析序説)
項目  
  1. 準備 用語・記号
  2. p乗可積分函数の空間
  3. Hilbert空間
  4. Euclid空間上の函数空間と近似定理
  5. Euclid空間上のFourier変換
 
日付     1/23(土)、 2/6(土)
  2/20(土)、 3/6(土)
  3/20(土)、 4/3(土)
時間     14:00−16:00

講座名 IC.位相群(表現論を目指して) ID.初等線形代数と微積分V
(領域の積分、多変数の高階導関数、
Taylorの公式)
項目
  1. 位相群、定義と例
  2. 位相群の部分群 コセット空間、商空間
  3. 位相群の同型と準同型
  4. 位相群の連結成分
  5. 等質空間・局所コンパクト群
  1. 領域上の積分2
  2. 微分と偏導関数
  3. 高階微分とテンソル表示
  4. Taylor公式
日付   1/22(金)、 2/5(金)
  2/19(金)、 3/5(金)
  3/19(金)、 4/2(金)
  1/31(日)、 2/14(日)
  2/28(日)、 3/14(日)
  3/28(日)、 4/11(日)
時間   19:00−21:00
  11:00−13:00

講座名 IG. 現代数学入門
複素数平面を通しての現代数学入門
(存在と表現)
IF. 数学の基本語彙と文法
項目
  1. 複素数系
    1. Hamiltonの流儀と表現論的な正当化
    2. Cauchyの方法
  2. 複素函数と複素微分
  1. 総和記号
  2. 数学的帰納法の様々な形
  3. 集合の代数
  4. 写像(像と原像)
  5. 変換と変換群
日付   2/12(金)、 2/26(金)
  3/12(金)、 3/26(金)
  1/30(土)、 2/13(土)
  2/27(土)、 3/13(土)
  3/27(土)、 4/10(土)
時間   18:30−20:30
  17:00−19:00

講座名 EA. 位相と解析学序論
(コンパクト空間からのトピックス、
Baire Category定理)
G. 抽象線形代数入門
今年度は休講します。
項目
  1. コンパクト空間上の連続関数環
    (Diniの定理、Ascoli-Arzelaの定理など)
  2. 点別収束位相とTychnoffの定理
  3. Baire Category定理と若干の応用。
 
日付   1/31(日)、 2/14(日)
  2/28(日)、 3/14(日)
  3/28(日)、 4/11(日)
 
時間   14:00−16:30
 

講座名 MA. Schwartz超函数の基礎理論
(テンソル積、接合積、
パラメータの入った超函数)
MB. 解析のための多様体入門V
(テンソル場、微分形式)
項目
  1. 基礎概念の復習
  2. 超関数のテンソル積
    1. テンソル積の定義
    2. テンソル積の性質
  3. 超関数の畳み込み
    1. 局所可積分函数の畳み込み
    2. 畳み込みの定義と存在
    3. 畳み込みの性質
    4. 非負数直線上に台を持つ超関数の畳み込み代数と分数階微積分作用素
    5. 超関数の正則化と近似定理
  1. 準備
  2. 多様体上の共変テンソル場
  3. ベクトル場とPaff形式
  4. テンソル場の内部積
  5. 写像による共変テンソル場の変換
  6. 外微分
  7. 共変テンソル場とベクトル場上の交代線型形式
  8. テンソル場の3つの演算
日付   2/7(日)、 2/21(日)
  3/7(日)
  1/30(土)、 2/13(土)
  2/27(土)、 3/13(土)
  3/27(土)、 4/10(土)
時間   11:00−17:00
  14:00−16:00

講座名 IS.加藤敏夫著位相解析入門との対話 G.Hilbert空間上の作用素
内容  加藤敏夫先生の名著 位相解析(理論と応用への入門)共立出版が2001年に復刊されました。 じっくりと基本的な例を見ながら、関数解析の考え方、対象を平易な、言葉で解き明かした、 本当にその領域を知る人の見事な入門書です。今期は第2章 内積とHilbert空間を読み進みます。
  1. 単位の分解、スペクトル
    1. Hilbert空間の射影作用素の幾何学と単位の分解
    2. 実解析からの予備知識
    3. Unitary作用素のスペクトル分解
    4. Neumannのスペクトル分解定理
    5. トピックス
  2. 作用素の関数
    1. 作用素の関数の概念
    2. Neumannの定理
    3. Stoneの定理
日付   1/20(水)、 2/3(水)
  2/17(水)、 3/3(水)
  3/24(水)、 4/7(水)
 4/17(土) 14:00−18:00
 4/18(日) 11:00−17:00
 4/25(日) 13:00−16:00
時間  19:00−21:00
 

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 冬期集中セミナー(2009年度)
講座名 微積分の考え方(解析学とは何か?T) − 入門 −
内容  解析学の基本理念は近似である。近似計算そのものの起源は古い。 面積や体積のような実用と結びついて古代から行われてきた。 それが17世紀に極限に結びついたとき、無限解析と呼ばれる、 現在の微積分・代数の直接の先祖が誕生しました。 このような立場から Tでは、補間法、初等超越函数の発見、 微分法を扱う。Uでは、積分の代数化、剰余評価が一般論として、 確立されていく様子をみる。
項目
  1. イントロダクション Newtonの多項式補間と差分近似
  2. 古典的解析函数
  3. 局所近似としての微分法
日時 12月13日(日) 11:00−17:00

講座名 Hilbert空間上の作用素のスペクトル分解 − 初中級 −
内容  線型代数で学んだように、正射影の1の分解は、全空間を互いに直交する部分空間の和に分解する。 また対称変換は射影作用素によりスペクトル分解される。今回のテーマは、その、無限次元バーションです。 無限次元では、連続する添え字をパラメータとする正射影族や、連続的な固有値を取り扱うことになります。 有限次元線型代数における結果と無限次元の結果をどのように統合するのだろうか、 構造をよく見るとスペクトル分解はStieltjes積分に見えてくるであろう。このようにして、 有限次元代数の方法を自然に拡張しようとすれば、作用素の空間の、 解析学の研究が必然的になってくるということが分かるとおもいます。
項目
  1. 準備
  2. 対称作用素、自己共役作用素
  3. 単位の分解
  4. 正の定符号列とStieltjes測度
  5. Unitary作用素のスペクトル分解
  6. スペクトル分解定理
 固有値問題、作用素値函数に続く
日時 12月19日(土) 14:00−18:00  12月20日(日) 11:00−16:00

講座名 確率統計の数学的基礎 期待値と確率測度の積分 − 入門 −
内容  確率変数の期待値が存在するとして、確率測度の積分を近似することを考えると、 必然的にLebesgueの近似和のアイデアがあらわれ、しかもその結果を分布関数の言葉で読み直すと、 数直線、あるいはn次元Euclid空間上のRiemann-Stieltjes積分があらわれる。 結果として確率測度の積分の存在が確立できるのです。この考え方は参考書や、教科書にはありません。 詳細な数学的解析を研究するのならともかく、やたらにLebesgue積分の結果を引用するのは賢明とは思えません。 ただし、応用で使いこなすには、積分論の確率論研究での必然性を理解し、構造を理解することは必要です。
項目
  1. 準備
  2. 確率測度の積分とStieltjes測度の積分
  3. 期待値と特性量
  4. 母函数、特性関数
日時 12月26日(土) 14:00−18:00  12月27日(日) 11:00−16:00

講座名 微積分の考え方(解析学とは何か?U) − 入門 −
項目
  1. 微積分の基本定理 積分の代数化
  2. 剰余評価の考え方
  3. 剰余付きTaylor公式
日時 1月9日(土) 11:00−17:00

講座名 ガイダンス・懇親会
内容  数学工房の考え方、講座の概要のガイダンスです。 講座の取り方等の個別の相談も承ります。筆記用具をご持参下さい。 新入会の方もご自由にご参加下さい。参加費は無料です。 懇親会については、後日お知らせいたします。
日時 1月10日(日)

講座名 Multi-linear Algebras テンソル代数、外積代数 − 初中級 −
内容  多変数の微積分を構造的に理解しようとするときテンソル表示はきわめて有用です。 取り分け多様体上の解析学を展開する場になるのは、接空間の上に構成される、 タンジェント束とその上のテンソル場です。この集中では、多重線型代数として、 線型代数的な部分のみに焦点をあわせます。純粋な予備知識としては抽象線型代数のみで事足ります。 多様体上の解析学の準備として、あるいは線型代数と多変数の微積分の理解を深めたい方に最適です。
項目
  1. イントロダクション
  2. 多重線型写像の空間
  3. 対称共変テンソル、交代共変テンソル
  4. 交代共変テンソルの外積代数
日時 1月16日(土) 14:00−18:00  1月17日(日) 11:00−16:00

講座名 可換代数演習 多項式環、形式冪級数環のイデアルの構造 − 初中級 −
内容 Atiyah-Macdonald Introduction to Commutative Algebra
第2章 練習問題1−5を中心に。解説と演習
 前回は、可換環を素イデアルの空間上の関数環と見るという、 現代的な双対原理をテーマにした。今回は、基礎的な問題に戻って、 可換代数の理論の最も基本的な対象である、多項式環と形式冪級数環のイデアルを演習の形で取り上げる。 可換環Aを係数とする多項式環は、構造上充分に一般的な性格をもち、 第1章で扱ったイデアルの一般論の理解が容易になるであろう。
日時 1月24日(日) 11:00−17:00

講座名 函数解析学演習 − 初中級 −
内容  応用の世界では多くの特別な超関数があり、その間の関係を示す多くの公式があります。 これらの諸公式はどのように導出するのでしょうか。結局は超関数の概念の正しい理解と、 公式で問題にされている量の理解、後は微積分の基本的な計算能力です。 多様な式の織り成す曼荼羅を楽しみつつ、超函数概念の理解を深めましょう。
 冬期の集中セミナーとしてはきわめて変則ですが3月の集中です。 会員の強いご希望もあり1日集中のオープションセミナーです。
日時 3月21日(祝・日) 11:00−17:00

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 秋学期講座(2009年度)
講座名 IA.入門解析教程T
(解析学とは何か?どこから来たのか?)
今年度は休講します。
IB.Fourier解析序説U
項目  
  1. Fourier級数からFourier解析へ
  2. 急減少関数のクラス
  3. 急減少関数のFourier変換
  4. Fourier変換の固有関数
  5. 2乗可積分関数の空間のFourier変換
  6. 可積分関数のクラスのFourier変換
  7. トピックス
 
日付     9/19(土)、  10/3(土)
  10/17(土)、 10/31(土)
  11/14(土)、 11/28(土)
時間     14:00−16:00

講座名 IC.可換代数入門 (加群U) ID.初等線形代数と微積分U
(有向体積としての行列式と領域の積分)
項目
  1. 前期の要約
  2. 完全系列
  3. 加群のテンソル積
  4. スカラー積の縮小と拡大
  5. テンソル積の完全系列
  6. Algebras
  1. 有向体積としての行列式
  2. 線形変換の行列式
  3. 置換群の表現とSgn
  4. 領域上の積分と逐次積分
  5. Jacobi行列と積分変数の変換
  6. Gram行列と曲面の計量
日付   10/9(金)、 10/23(金)
  11/6(金)、 11/20(金)
  12/4(金)、 12/18(金)
  9/27(日)、  10/11(日)
  10/25(日)、 11/8(日)
  11/22(日)、 12/6(日)
時間   19:00−21:00
  11:00−13:00

講座名 IE. 距離空間上の測度
(Radon−Nykodymの性質)
IF. 数学の基本語彙と文法
項目
  1. 加法的集合関数
    1. 一般論
    2. Jordan分解
    3. Radon-Nykodymの定理
  2. 有界変動関数
  1. 総和記号
  2. 数学的帰納法の様々な形
  3. 集合の代数
  4. 写像(像と原像)
  5. トピックス
日付   10/2(金)、  10/16(金)
  10/30(金)、 11/13(金)
  11/27(金)、 12/11(金)
  9/26(土)、  10/10(土)
  10/24(土)、 11/7(土)
  11/21(土)、 12/5(土)
時間   19:00−21:00
  17:00−19:00

講座名 EA. 位相と解析学序論U G. 抽象線形代数入門T
今年度は休講します。
項目
  1. コンパクトと全有界
    1. W.Bの性質(点列コンパクト)
    2. 点列コンパクト性の帰結
    3. プレコンパクトと全有界
    4. 点列コンパクトとHeine-Borelの性質
    5. 有限交叉条件
  2. コンパクト集合上の連続関数
    1. 空間 C(X)
    2. Diniの定理
    3. Ascoli-Arzelaの定理
  3. 連結性
    1. 局所定数関数